¿Cómo se emplea la topología para el análisis de datos? En este vídeo divulgativo de matemáticas, introducimos de forma fácil e intuitiva la homología persistente, que nos permite extraer información estructural sobre nubes de puntos. ¡A cazar agujeros!
#matemáticas #divulgacion #ciencia #topology
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NOTAS AL PIE:
[1] En principio, aunque sea imposible que cuatro puntos en un plano formen un tetraedro, si están a una distancia dos a dos menor que la tolerancia y seguimos a rajatabla la definición del complejo de Vietoris-Rips, habría que incluir el 3-símplice abstracto formado por ellos cuatro. Si te preocupa esto para el cálculo del agujero del ejemplo, descuida: tan solo las 2-cadenas y las 1-cadenas juegan un papel en el conteo de agujeros de dimensión 1, como el que estamos intentando detectar. Estos símplices de dimensiones mayores solo influyen si queremos estudiar homología de dimensiones mayores (cavidades, por ejemplo), así que pueden obviarse si no estás interesado en ellos.
[2] Existen más formas de crear complejos simpliciales a partir de una nube de puntos. Hay una, el complejo de Čech, que se construye igual que el de Vietoris-Rips, pero solo rellenas un triángulo cuando los tres círculos que surgen de sus vértices se intersecan en una región central pequeña. Esto tiene el efecto de que, con la tolerancia mostrada en el vídeo, solo se tendrían los tres segmentos entre los puntos, sin rellenar, ya que no hay una zona común a los tres. Con una tolerancia algo mayor, los círculos serían más grandes y sí tendrían una zona común: ahí sí que se rellenaría el triángulo. El complejo de Čech tiene propiedades matemáticas más agradables que el de Vietoris-Rips (en pocas palabras, se podría decir que representa de forma más fiel el espacio subyacente imaginado con una cierta tolerancia), pero también es mucho más costoso de calcular.
[3] Dejo aquí unas pocas palabras sobre qué se puede hacer con los códigos de barras. Lo más importante es que existen nociones de "distancia" entre códigos de barras, y por tanto, la homología persistente te permite no solo analizar nubes de puntos, sino compararlas, entre otras aplicaciones. Existen, fundamentalmente, dos distancias: la distancia bottleneck y la de Wasserstein, que depende de un parámetro.
[4] Si investigas más a fondo en la homología persistente, verás que hay otra forma de visualizar la homología que se llama “diagrama de persistencia”. Contiene la misma información que el código de barras, solo que en vez de representar la vida de un agujero que nace en un tiempo “a” y muere en un tiempo “b” como un intervalo entre a y b, se representa como el punto (a,b) en el plano. Es un poco menos visual para mi gusto, pero gracias a ella es mucho más fácil calcular las distancias que menciono en la anterior nota.
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CAPÍTULOS:
00:00 Estructurando datos en tu imaginación
00:46 Introducción
01:24 Nube de puntos y espacio subyacente
04:04 El complejo de Vietoris-Rips
07:27 Filtraciones
09:36 ¿Draw My Life? (Códigos de barras)
12:34 Aplicaciones
13:16 Despedida y cierre
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MATERIAL Y RECURSOS:
Los datos de peso y altura han sido tomados de la encuesta NHANES de 2017-2018. || https://figshare.com/articles/dataset...
Librería de python GUHDI, para homología persistente. || https://gudhi.inria.fr/
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REFERENCIAS Y MATERIAL RELACIONADO:
Atom-specific persistent homology and its application to protein flexibility analysis || https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles...
A topological perspective on weather regimes || https://link.springer.com/article/10....
Using persistent homology as preprocessing of early warning signals for critical transition in flood || https://www.nature.com/articles/s4159...
Introduction to Persistent Homology -- Žiga Virk
Elements of Algebraic Topology -- James Munkres
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MÚSICA:
Introducción y cierre: Funky Suspense -- Benjamin Tissot
Music: bensound.com
Artist: Benjamin Tissot
License code: QSHJ14HF0DIBHQJF
Grueso del vídeo: The Lounge -- Benjamin Tissot
Music I Use: https://www.bensound.com/free-music-f...
Artist: Benjamin Tissot
License code: BH3IPXC8B1MPEP3A
Tema de la entradilla "Homología: cazadora de agujeros" compuesto por mí.
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