블랙 숄즈 모형

dS/S = μdt + σdz (1)
이 때, 옵션은 f=F(S, t)로 표현될 수 있고,
df= ((∂f/∂S)*μ*S + (∂f/∂t) + (1/2)(∂2f/∂S2)σ2 S2)dt + (∂f/∂S)*σS dz 가 된다.
만일 기초자산 S와 옵션 f를 갖고 무위험 채권 포트폴리오를 만든다면, 무위험 채권 포트폴리오 π는 다음의 식으로 표현될 수 있다.
π= -f + (∂f/∂S)*S (2)
이에 기초하여 Δπ 값을 계산하면,
Δπ = ((-∂f/∂t)-(1/2)(∂2f/∂S2)σ2S2)Δt (3)
무위험포트폴리오의 수익률은 무위험금리와 같다는 사실에 근거하여 다음의 식이 나온다.
(Δπ/ π) = r * Δt (4)
식 (2), (3)을 식 (4)에 대입하여 풀면 다음과 같은 편미분방정식이 나온다.
(∂f/∂S) + rS*(∂f/∂S) + (1/2) )σ2 S2 *(∂2f/∂S2) = r*f (5)


식 (5)를 경계조건(Boundary Conditions)을 만족하면서 풀면 바로 블랙숄즈(Black-Scholes)의 옵션식이 나오게 된다. 유로피안 콜옵션 가격을 c라고 하고, K를 행사가격이라 하면
c= S N(d1) – K의 현재가 N(d2) (6)