Скачать или смотреть दो चर वाले रैखिक का समीकरण उदाहरण | Math Class 10th chapter 3 |JAC & BSEB Board|Exercise 3.1 |Part 2

दो चर वाले रैखिक समीकरण | Math class 10th chapter 3 Bihar, & Up board | Class 10 Math chapter 3 | Part 2


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Class 10 Math Chapter 3 - दो चर वाले रैखिक समीकरण (Pair of Linear Equations in Two Variables)

Vishnu Sir/NCERT Guruji 1.0/दिशा ऑनलाइन क्लासेस के अनुसार समाधान

अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण (UP Board/Bihar Board)

परिचय:
इस अध्याय में हम दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म (pair of linear equations in two variables) और उन्हें हल करने की विभिन्न विधियों का अध्ययन करेंगे।

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महत्वपूर्ण बिंदु:

1.रैखिक समीकरण का मानक रूप:
`ax + by + c = 0`
जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a व b दोनों शून्य नहीं हैं।

2.समीकरण युग्म:
```
a₁x + b₁y + c₁ = 0
a₂x + b₂y + c₂ = 0

3. हल करने की विधियाँ:
ग्राफीय विधिClass 10 Math chapter 3 (Graphical Method)
प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)
विलोपन विधि (Elimination Method)
वज्र-गुणन विधि (Cross-Multiplication Method)

---

1. ग्राफीय विधि

चरण:
1. दोनों समीकरणों को ग्राफ पर प्रदर्शित करें।
2. प्रतिच्छेदन बिंदु (intersection point) हल होगा।

परिणाम:
अद्वितीय हल:यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं (a₁/a₂ ≠ b₁/b₂)
कोई हल नहीं: यदि रेखाएँ समान्तर हैं (a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂)
अनंत हल: यदि रेखाएँ संपाती हैं (a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂)

उदाहरण:
समीकरण युग्म:
x + y = 5
2x + 2y = 10
(संपाती रेखाएँ - अनंत हल)

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2. प्रतिस्थापन विधि

चरण:
1. एक समीकरण से एक चर (जैसे y) को x के पदों में व्यक्त करें।
2. इस मान को दूसरे समीकरण में रखें और x का मान ज्ञात करें।
3. x का मान पहले समीकरण में रखकर y ज्ञात करें।

उदाहरण:
हल करें:
x + y = 7 ...(1)
2x - 3y = 11 ...(2)

हल:
समीकरण (1) से: y = 7 - x
इसे समीकरण (2) में रखने पर:
2x - 3(7 - x) = 11
⇒ 2x - 21 + 3x = 11
⇒ 5x = 32 ⇒ x = 6.4
y = 7 - 6.4 = 0.6

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3. विलोपन विधि

चरण:
1. दोनों समीकरणों को इस प्रकार गुणा करें कि एक चर के गुणांक समान हो जाएँ।
2. समीकरणों को घटाएँ या जोड़ें ताकि एक चर विलुप्त हो जाए।
3. शेष चर का मान ज्ञात करें और दूसरे चर का मान निकालें।

उदाहरण:
हल करें:
3x + 2y = 11 ...(1)
2x + 3y = 4 ...(2)

हल:
समीकरण (1) को 3 से और समीकरण (2) को 2 से गुणा करें:
9x + 6y = 33 ...(3)
4x + 6y = 8 ...(4)

समीकरण (3) - समीकरण (4):
5x = 25 ⇒ x = 5
x का मान समीकरण (1) में रखें:
15 + 2y = 11 ⇒ y = -2

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4. वज्र-गुणन विधि

सूत्र:
`x/(b₁c₂ - b₂c₁) = y/(c₁a₂ - c₂a₁) = 1/(a₁b₂ - a₂b₁)`

उदाहरण:
हल करें:
2x + 3y - 5 = 0
4x + 6y - 10 = 0

यहाँ a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ = 1/2 ⇒ अनंत हल।

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Bihar Board/UP Board के लिए महत्वपूर्ण प्रश्न:

1. ग्राफ द्वारा हल करें:
x - y = 1
2x + y = 8

2. प्रतिस्थापन विधि से हल करें:
3x - 5y = 4
9x - 2y = 7

3. विलोपन विधि से हल करें:
8x + 5y = 9
3x + 2y = 4

4. निम्न समीकरण युग्म का हल ज्ञात करें:
(a) संगत
(b) असंगत
(c) आश्रित

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टिप्स:
ग्राफ बनाते समय कम से कम तीन बिंदु अवश्य लें।
विलोपन विधि में चिन्हों का ध्यान रखें।
प्रतिस्थापन विधि में सरल समीकरण को चुनें।

इस अध्याय में अभ्यास बहुत महत्वपूर्ण है, नियमित रूप से प्रश्न हल करें!