Скачать или смотреть سلسلة تمارين جديدة في انماط البرهان: تمرين 3

حمل سلسلة التمارين من على الرابط التالي
https://www.mediafire.com/file/hebiu0...
في الرياضيات توجد أنماط (طرق) مختلفة للبرهان، ويُختار النمط المناسب حسب شكل القضية. إليك أهم أنماط البرهان مع شرح مبسّط وأمثلة واضحة:


---

🔹 1) البرهان المباشر (Direct Proof)

هو أبسط وأشهر أنواع البرهان.
تبدأ من الفرضية وتستعمل قواعد رياضية إلى أن تصل للنتيجة المطلوبة.

مثال:
برهن أن عددًا زوجيًا زائد عدد زوجي يعطينا عددًا زوجيًا.
نفرض:
,
إذن:
وهو زوجي.


---

🔹 2) البرهان بالتناقض (Proof by Contradiction)

نفترض عكس المطلوب، ثم نصل إلى تناقض، فنستنتج أن الافتراض الخاطئ يجعل النتيجة صحيحة.

مثال:
لإثبات أن عدد غير منطقي:
نفترض أنه منطقي أي …
نصل إلى تناقض ⇒ إذن الافتراض خطأ ⇒ الجملة صحيحة.


---

🔹 3) البرهان بالتقابل (Contrapositive Proof)

بدل أن نثبت:

P \Rightarrow Q

\neg Q \Rightarrow \neg P

مثال:
لإثبات: إذا كان زوجيًا فإن زوجي.
نثبت: إذا كان فرديًا فـ فردي. انتهى.


---

🔹 4) البرهان بالتراجع (Mathematical Induction – البرهان باستعمال الاستقراء الرياضي)

يُستعمل لإثبات قضايا على الأعداد الطبيعية مثل المتتاليات والمجاميع.

الخطوات:

1. الأساس: نثبت صحة الجملة عند


2. الفرضية: نفترض أنها صحيحة عند


3. الخطوة الاسترجاعية: نثبتها عند




---

🔹 5) البرهان بالتحليل إلى الحالات (Proof by Cases)

نقسم القضية إلى حالات مختلفة ثم نبرهن كل حالة.

مثال: لإثبات خاصية ما على جميع الأعداد الصحيحة، نقسمها:

حالة زوجي

حالة فردي
ونبرهن كل حالة.



---

🔹 6) البرهان البنائي (Constructive Proof)

نثبت وجود شيء معيّن عن طريق بنائه أو إيجاده فعليًا.

مثال:
لإثبات وجود عدد أولي بين و ، نعطي طريقة أو مثال يبين ذلك.


---

🔹 7) البرهان اللابنائي (Non-Constructive Proof)

نثبت وجود عنصر دون تحديده بدقة.


---

🔹 8) البرهان بالتكافؤ (Proof by Equivalence)

نبرهن جملة من الشكل:

P \iff Q







---

🔥 خلاصة سريعة

نوع البرهان الفكرة الأساسية

المباشر من الفرض للنتيجة مباشرة
بالتناقض نفترض العكس ونصل لتناقض
بالتقابل نبرهن النفي ⇒ نفي الفرض
الاستقراء إثبات للمتتاليات والأعداد الطبيعية
الحالات تقسيم القضية لحالات ممكنة
البنائي تقديم مثال أو بناء شيء
اللابنائي إثبات وجود دون تقديم مثال
التكافؤ إثبات اتجاهين ⇒ ⇐