les ensemles et les applications : exercice corrigé 01

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les ensembles ( Inclusion de deux ensembles )
Dans tout l'article, les ensembles considérés sont tous supposés inclus dans un ensemble donné U. L'inclusion est une relation d'ordre (partielle) notée « ⊂ » ou « ⊆ », et définie sur l'ensemble des parties de U, noté P(U), par :

A ⊂ B si et seulement si ∀ x ∈ U (x ∈ A ⇒ x ∈ B).
L'égalité est définie par extensionnalité, deux ensembles sont égaux quand ils ont les mêmes éléments, c'est-à-dire que :

A = B si et seulement si ∀ x ∈ U (x ∈ A ⇔ x ∈ B).
ou encore

A = B si et seulement si A ⊂ B et B ⊂ A.
Les propriétés qui suivent correspondent donc, pour les égalités, à des équivalences en calcul propositionnel dont elles se déduisent. Elles peuvent être visualisées avec les diagrammes de Venn, une façon schématique de décrire toutes les cas possibles pour l'appartenance d'un élément à un nombre fini (et suffisamment réduit) d'ensembles, et qui peut donc permettre également de décrire des démonstrations d'égalité ou d'inclusion.

De façon similaire, les inclusions se ramènent à des implications.

Une application est bijective si et seulement si tout élément de son ensemble d'arrivée a un et un seul antécédent, c'est-à-dire est image d'exactement un élément (de son domaine de définition), ou encore si elle est injective et surjective. Les bijections sont aussi parfois appelées correspondances biunivoques.

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