Скачать или смотреть v5.0.1.1.1 (Höher) Kategorien - Kategorisch dual

Inhalt. „Dual“ ist eine Eigenschaft von Ausdrücken, Prädikaten oder Sätzen der Kategorien-Theorie. Es ist keine Eingenschaft von den mathematischen Objekten dieser Theorie. Also keine Eigenschaft von z. B. Objekten, Homomorphismen oder Kategorien.

Damit wir dual definieren können müssen wir eine weitere Ebene schaffen, da wir dabei über die Sprache sprechen müssen, mit der wir die ganze Zeit über Kategorien sprechen. Damit das möglich wird, bedienen wir uns der mathematischen Logik. Wir fügen Variablen für Objekte und für Morphismen hinzu. Weiter fügen wir die üblichen Axiome der Kategorien-Theorie als Axiome hinzu. Das Ergebnis ist ETAC = Elementary Theory of an abstract Category.

ETAC hat neben den Atomen der normalen mathematischen Logik, wie Gleichheit, boolsche Operatoren usw., noch drei Funktionssymbole , Q, Z. fg lesen wir als die Komposition von f und g, Q(f) lesen wir als das Quellobjekt des Morphismus f, und Z(f) das Zielobjekt des Morphismus f. Nun definieren wir das Dual zu einem logischen Bestandteil Σ, indem wir überall Q druch Z, Z durch Q und fg durch gf für alle Ausdrücke f und g. Mit anderen Worten: wir drehen die Pfeile um.

Offensichtlich ist Dualisierung idempotent.

Da die Dualen der Axiome von ETAC wahr sind, ist jedes Dual eines beweisbaren Satzes ebenfalls beweisbar: wir brauchen nur das Dual des Beweises hinschreiben. Also ist es so: wenn immer wir etwas hinschreiben, eine Notation, Definition, einen Satz oder einen Beweis, gibt es immer auch das Dual dazu. E
Manchmal haben Duale eigene Namen, manchmal hängen wir „Ko“ davor und manchmal gibt es beides.

Komono = Epi.

Funktoren werden bei der Dualisierung NICHT umgedreht.

Präsentiert. Von Jörg Kunze

Voraussetzungen. Kategorie, Homomorphismus, Mono, Epi, Anfangs-, End- und Null-Objekt, ein wenig mathematische Logik

Text. Der Begleittext als PDF und als LaTeX findet sich unter https://github.com/kategory/kategoryM...

Meine Videos. Siehe auch in den folgenden Videos:

v5.0.1.0.1 (Höher) Kategorien - Axiome für Kategorien
   • v5.0.1.0.1 (Höher) Kategorien - Axiome für...  

v5.0.1.0.2 (Höher) Kategorien - Kategorien
   • v5.0.1.0.2 (Höher) Kategorien - Kategorien  

v5.0.1.0.5 (Höher) Kategorien - Mono Epi Null
   • v5.0.1.0.5 (Höher) Kategorien - Mono Epi Null  

Quellen. Siehe auch in den folgenden Seiten:

https://de.wikipedia.org/wiki/Duale_K...
https://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A...
https://en.wikipedia.org/wiki/Dual_(c...)
https://ncatlab.org/nlab/show/duality

Buch. Grundlage ist folgendes Buch:

„Categories for the Working Mathematician“
Saunders Mac Lane
1998 | 2nd ed. 1978
Springer-Verlag New York Inc.
978-0-387-98403-2 (ISBN)
https://www.amazon.de/Categories-Work...

Gut für die kategorische Sichtweise ist:
„Topology, A Categorical Approach“
Tai-Danae Bradley
2020 MIT Press
978-0-262-53935-7 (ISBN)
https://www.lehmanns.de/shop/mathemat...

Einige gut Erklärungen finden sich auch in den Einführenden Kapitel von:
„An Introduction to Homological Algebra“
Joseph J. Rotman
2009 Springer-Verlag New York Inc.
978-0-387-24527-0 (ISBN)
https://www.lehmanns.de/shop/mathemat...

Etwas weniger umfangreich und weniger tiefgehend aber gut motivierend ist: „Category
Theory“
Steve Awodey
2010 Oxford University Press
978-0-19-923718-0 (ISBN)
https://www.lehmanns.de/shop/mathemat...

Mit noch weniger Mathematik und die Konzepte motivierend ist: „Conceptual Mathematics: a
First Introduction to Categories“
F. William Lawvere, Stephen H. Schanuel
2009 Cambridge University Press
978-0-521-71916-2 (ISBN)

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