Cantorstaub, Cantormenge, Cantor Drittelmenge, Fraktale Geometrie #3

Was ist der Cantorstaub beziehungsweise die Cantor-Drittelmenge und warum besteht der Cantorstaub aus einer unendlich großen Menge an Punkten, deren Mächtigkeit mit der Mächtigkeit des reellen abgeschlossenen Zahlenintervalls [0,1] übereinstimmt?




Dipl. Physiker Dietmar Haase erklärt in diesem Video, wie durch Drittelung des kompakten reellen Zahlenintervalls [0,1] der Cantorstaub entsteht. Der Cantorstaub ist eines der ersten Fraktale, benannt nach dem Mathematiker Georg Cantor, das umfassend untersucht wurde. Der Cantorstaub, beziehungsweise die Cantor-Drittelmenge, hat einige merkwürdige Eigenschaften. Der Cantorstaub besteht einerseits aus einer abzählbar unendlich großen Anzahl an Intervallrandpunkten und andererseits aus einer überabzählbaren großen Anzahl von Punkten, die keine Randpunkte sind. Die Cantormenge ist eine Menge, deren Mächtigkeit mit der Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen aus dem abgeschlossenen Intervall [0,1] übereinstimmt. Das heißt, dass die Cantormenge genauso viele Zahlen enthält wie das abgeschlossene Einheitsintervall. Es wird gezeigt, dass die Länge der verbleibenden nicht gelöschten Drittelintervalle, nach unendlich vielen Iterationsschritten, eine Länge von null ergeben. Weil der Cantorstaub einerseits aus unendlich vielen Punkten besteht und andererseits die Länge der verbleibenden Intervalle null ist, handelt es sich hier um ein geometrisches Objekt, was keine Länge hat aber auch kein einzelner Punkt ist. Daher muss dem Cantorstaub eine fraktale Dimension zugesprochen werden, die irgendwo zwischen Null und Eins liegt.


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