Sinus und Kosinus am Einheitskreis || Klasse 10 ★ Übung 1

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Legt man ein Koordinatensystem in den Mittelpunkt eines Einheitskreises (Radius = 1 Längeneinheit) und zeichnet ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Radius als Hypotenuse hinein, so kann man die Werte für Sinus und Kosinus mit beliebigem Winkel α unmittelbar ablesen. Diese entsprechen direkt der jeweiligen Länge der Katheten in x-Richtung bzw. y-Richtung, da die Hypotenuse eine Länge von 1 hat. Die Koordinaten des Punktes P (x1|y1) können ebenfalls gleichgesetzt werden mit:
x_1 = cos⁡〖α_1 〗 und y_1 = sin⁡〖α_1 〗

Zeichne einen Einheitskreis mit Radius r = 5 cm = 1 Längeneinheit. (Skalierung 1 cm entspricht 0,2 Längeneinheiten). Markiere einen Winkel α für den gilt cos⁡α=0,8 und bestimme α sowie sin⁡〖(α)〗 zeichnerisch. Überprüfe mit dem Taschenrechner. Bestimme außerdem zeichnerisch sin⁡〖(β)〗 und cos⁡〖(β〗) für β = 150° und vergleiche dein Ergebnis mit dem Taschenrechner.

Dafür zeichnest du dir einen Kreis mit einem Radius von 5 cm und legst ein Koordinatensystem hinein. Die 5 cm definieren wir als eine Längeneinheit. Als zusätzliche Hilfe kannst du dir bei der Achsenbeschriftung im Abstand von 1 cm je einen Schritt von 0,2 eintragen.
Im ersten Beispiel legen wir einen Wert für Kosinus fest und bestimmen hieraus graphisch den Sinus und den Winkel.


Beispiel 1: cos⁡α=0,8
Zeichne also eine Senkrechte zur x-Achse bei 0,8 bis zum Schnittpunkt mit dem Einheitskreis und vervollständige mit der Hypotenuse das Dreieck. Wir können jetzt den Sinus ablesen, indem wir die Länge der Senkrechten bestimmen: sin⁡α = 0,6
Den Winkel kannst du mit deinem Geodreieck bestimmen: α ≈ 37°
Nimm zur Überprüfung den Taschenrechner: cos^(-1)⁡0,8 = 36,9°, sin⁡〖37° 〗= 0,6
Rechnerische Lösung (Taschenrechner) und Zeichnung stimmen also überein. Bedenke, dass auch der Winkel α = 143° einen Kosinus von 0,8 hat!
Beispiel 2: β=150°
Auch wenn es zunächst widersinnig erscheint, die Winkelfunktionen für größere Winkel als 90° zu betrachten (vgl. Winkelsummensatz), so wird diese Betrachtung für spätere Anwendungen relevant.
Zeichne also einen 150°-Winkel. Lies nun die Werte für Sinus und Kosinus ab. Achte dabei auf den Vorzeichenwechsel: sin⁡〖150°〗≈ 0,5 und cos⁡〖150°〗 ≈ -0,87
Der Taschenrechner liefert auch dabei entsprechende Werte.
Tipp: Wie bei allen zeichnerischen Lösungen gilt auch hier: Je sauberer du zeichnest, desto genauer wird dein Ergebnis.

Trainer: „Der Einheitskreis ist eine nützliche und wichtige Anschauung, um die Winkelfunktionen in ihrem Ursprung, Verlauf und Zusammenhang zu verstehen. Du solltest ihn auch bei späteren Fragestellungen parat haben, um diese klären zu können.“