[카오스 술술수학] 모양이란 무엇인가? 상상하는 모양? 실재 모양?

[카오스 술술수학] 모양이란 무엇인가? 상상하는 모양? 실재 모양?

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모양을 한컴사전에서 찾으면 ‘겉으로 나타난 모습’이다.
그렇다면 모습은 뭘까? 한컴사전에는 ‘겉으로 나타난 모양’이라고 나온다.

모양은 ‘겉으로 나타난 모습’이고 모습은 ‘겉으로 나타난 모양’이라.. 어이가 없다. 이런 상황을 우리는 보통 ‘모순’이라고 한다.

이처럼 모양이란 참 정의하기 어려운 모양이다.

수학에서는 모양을 보통 도형이라고 한다.
이러한 도형을 연구하는 분야가 기하학이다.

모양을 연구하는 게 기하학이라면 기하학의 본질은 뭘까? 기하학의 본질은 모양일까?
모양이 무엇인지도 잘 모르는데 그게 기하학의 본질이라.. 이것도 어이가 없다.

그래서 세계적 수학자 황준묵 교수에게 기하학의 본질이 뭐냐고 물어보았다.

그러자 간단하고도 놀라운 대답이 돌아왔다. ‘기하학의 본질은 OO이다’.
여기서 OO에 들어갈 단어가 뭘까? 이게 오늘의 주제다. 잠시 생각해보자.

“누구나 곡선이 무엇인지 안다. 수학을 충분히 공부하기 전까지는 ...” 19세기 독일의 수학자 펠릭스 클라인의 말이다.

수학을 깊이 공부할수록 곡선이 무엇인지 모르게 된다는 것이다. 마찬가지로 모양, 즉 기하학이 뭔지는 다 안다. 하지만 공부할수록 점점 모르게 되는 게 기하학이라는 말이다.

쉬운 것에서 시작해보자. 도형 하면 떠오르는 건 아마도 다음과 같은 것들일 것이다. 삼각형, 사각형, 원, 타원, 포물선 ... 평면도형과 곡선들이다.

그리고 다양한 곡면도 있다. 유명한 것은 뫼비우스의 띠이다.

보다시피 안과 밖이 따로 없고 하나의 면으로 되어 있다. 안팎이 없는 클라인병이라는 이상한 병도 있다.

아까의 수학자 펠릭스 클라인의 고안한 병이다. 이 클라인 병을 둘로 쪼개면 어떻게 될까?

... 뫼비우스의 띠가 된다. 벌써 점점 모르게 되는 것 같지 않은가?

정다면체도 들어보았을 것이다. 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체 ...

다음과 같은 놀랍고 이상하고 아름다운 도형들도 있다. 그리고 이 그림들 중에는 4차원이나 그 이상의 차원을 2차원 평면에 표현한 것들도 있다.

그러나 4차원 도형은커녕 사실 3차원 도형의 그림도 평면에 그릴 수 없다. 이해를 돕기 위한 보조수단일 뿐이다.

이건 진짜 지구가 아니다.
그러나 우리는 이걸 지구로 본다.

다음은 네커정육면체다.
이 정육면체가 어떻게 보이는가? AB가 CD 앞에 있는 걸로 보이는가, 뒤에 있는 걸로 보이는가?

이 그림은 3차원 도형을 이해하기 위한 보조수단일 뿐이지 실제의 정육면체 모양이 아니다. 근데 사실 2차원 도형도 진짜가 아니라 보조적 그림일 뿐이다.

이 원이 진짜라고? 돋보기로 자세히 들여다보자.

수학에서 사용하는 모든 그림은 보조적 수단일 뿐 진짜가 아니다. 수학에서 진짜 그림은 없다. 심리적 환상일 뿐이다. 이처럼 모양이 가짜라면 진짜는 무엇일까?

이 문제를 최초로 고민한 사람이 바로 유클리드이다.
그리고 이를 체계적으로 기술한 책이 유클리드의 ‘원론’이다.

이 책에서 유클리드는 기하학을 공리와 정리라는 아름다운 수학적 사고 체계로 기술한다. 도형은 보조수단일 뿐 공리체계가 진짜라는 얘기다.

이러한 전통은 19세기 다비드 힐베르트라는 수학자에게서 정점에 이른다.

그는 모든 기하학적 정리를 도형을 전혀 쓰지 않고 논리만으로 증명할 수 있다고 생각했다. 심지어 유클리드 기하학에서 ‘점, 선, 면’이라는 용어를 ‘책상, 지우개, 의자’로 바꿔도 그 체계는 전혀 바뀌지 않는다고 생각했다.

‘두 점이 주어지면 그 두 점을 지나는 직선이 하나 있다’는 말은 ‘두 책상이 주어지면 그 두 책상을 지나는 지우개가 하나 있다’는 말과 같다는 것이다.

황준묵 교수도 말한다. “나의 논문에는 그림이나 도형이 거의 없다. 그러나 나는 기하학자다.”

이처럼 도형이 가짜고 보조수단일 뿐이라면 기하학을 왜 해야 하나? 바로 이 질문 속에 기하학의 본질이 숨어 있다.

위의 증명을 보자. 오로지 글자로만 된 증명이다. 도대체 무슨 증명일까?

또 다른 증명을 보자. 이 그림을 보니 ‘아하 피타고라스 정리 증명이군’하고 알아차린 분이 많을 것이다.

어느 쪽이 쉬워 보이는가? 같은 문제라도 이처럼 그림으로 보여주면 왠지 쉬워지고 잘 풀린다.

주가 곡선을 보니 주가의 추이가 한 눈에 보인다.

이건 유명한 우리 은하의 그림이다. 우리 은하가 실제로 이렇게 생겼을까? 아니다, 이건 그냥 이해를 돕기 위해 거짓말을 보태서 그린 그림일 뿐이다.

근데 참 이상하다. 이렇게 보여주면 뭔가 이해된 것 같은 기분이 든다. 그게 인간의 특성이다.

컴퓨터와 달리 숫자나 논리로 세상을 이해하기보다, 눈으로 세상을 시각화할 때 더 잘 이해할 수 있도록 진화해 온 것이다.

그림으로 생각함으로써 그전에는 보지 못했던 것을 본 것이다.
‘그림으로 생각한다는 것’ 이게 뭘까?

바로 상상이다.
그렇다. 기하학의 본질은 상상이다.

영어로도 imagination, 이미지를 만든다는 의미이다.

‘기하학과 상상력’! 아까의 힐베르트라는 수학자가 쓴 책의 제목이다. 그리고 오늘의 주제이다.

기하학의 본질은 상상력이다!



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