RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADOR - 🔺TÓPICOS EM ÁLGEBRA (MÓDULO 11)

RACIONALIZAÇÃO
RACIONALIZAÇÃO de denimonador
Com esta aula você você aprender as variadas técnicas de racionalização de denominadores.

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Racionalização de Denominador
Quando temos uma razão
a/b (b≠0)
E b é um termo irracional, é costume, em matemática, obter uma razão equivalente cujo denominador seja racional.

Fator Racionalizante

Se a⁄b tem b irracional, para obter uma razão equivalente, multiplicaremos a e b, simultaneamente, por um mesmo número, selecionado, que converta o denominador em um termo racional. Veja os exemplos:


a) 1/√2
O termo racionalizante é √2, pois √2.√2=2. A racionalização se dá assim:
1/√2 ∙√2/(√2.)=√2/2

b) √3/(4√5)
O termo racionalizante é √5, pois √5.√5=5. A racionalização se dá assim:
√3/(4√5) ∙√5/(√5.)=√15/4.5=√15/20

c) 1/∛7
O termo racionalizante é ∛7², pois ∛7.∛7²=∛7³=7. A racionalização se dá assim:
1/∛7∙∛(7^2 )/∛(7^2 )=∛(7^2 )/7=∛49/7

d) 6/√(5&9)
Veja que √(5&9)=√(5&3²). O termo racionalizante é √(5&3³), pois √(5&3²) .√(5&3³)=√(5&3^5 )=3. A racionalização se dá assim:
6/√(5&9)=6/√(5&3²)∙√(5&3^3 )/√(5&3^3 )=(6√(5&3^3 ))/3=2√(5&3^3 )=2√(5&27)

e) 2/(√3+√2)
O fator racionalizante de √3+√2 é √3-√2 (conjugado), pois (√3+√2).(√3-√2)=3-2=1. A racionalização se dá assim:
2/(√3+√2) ∙(√3-√2)/(√3-√2)=2(√3-√2)/1=2(√3-√2)

Obs.: Neste caso, usamos por base o produto notável (a+b)(a-b)=a²-b²

f) 1/(5√3-2)
O fator racionalizante de 5√3-2 é 5√3+2 (conjugado), pois (5√3-2).(5√3+2)=75-4=71. A racionalização se dá assim:
1/(5√3-2)∙ (5√3+2)/(5√3+2)=(5√3+2)/71

g) 16/(∛3+1)

Para determinar o fator racionalizante neste caso, nos apoiaremos no produto notável:

(a+b)(a^2-ab+b)=a^3+b³

Tomando a=∛3 e b=1.

O fator racionalizante de ∛3+1 é (∛(3^2 )-∛3+1), pois (∛3+1 ).(∛(3^2 )-∛3+1)=3+1=4. A racionalização se dá assim:

16/(∛3+1) ∙ (∛(3^2 )-∛3+1)/(∛(3^2 )-∛3+1)=(16(∛(3^2 )-∛3+1))/4

=4(∛(3^2 )-∛3+1)

h) 1/(∛4+∛2+1)

De modo análogo ao caso anterior, usando o produto notável:
(a-b)(a^2+ab+b)=a^3-b³

Vemos que o fator racionalizante de ∛4+∛2+1 é ∛2-1, pois (∛4+∛2+1)(∛2-1)=2-1=1
A racionalização se dá assim:

1/(∛4+∛2+1) ∙(∛2-1)/(∛2-1)=(∛2-1)/1=∛2-1




Casos Especiais

i) (√(7&4)-1)/(√(7&2)-1)
Neste caso não precisamos determinar um fator racionalizante, mas sim, apenas notar que

√(7&4)-1=(√(7&2)-1)(√(7&2)+1)

A racionalização se dá assim:

(√(7&4)-1)/(√(7&2)-1) ∙ (√(7&2)-1)(√(7&2)+1)/(√(7&2)-1)=√(7&2)+1


j) (√(5&x²)-4)/(√(5&x)+2)=((√(5&x)+2)(√(5&x)-2))/(√(5&x)+2)=√(5&x)-2