Aula 05 - Resolução de algumas integrais envolvendo a função gama

Neste vídeo, vamos explorar a função gama e entender como calcular apenas algumas integrais fundamentais associadas a ela. Começaremos determinando a expressão padrão da função gama e aplicaremos propriedades importantes, como Γ(n) = (n−1)!. Vamos calcular valores específicos, como Γ(2), Γ(0), Γ(1) até Γ(7) e também faremos uso de que Γ(1/2) = π. Exploraremos outras integrais no formato de −∞ a ∞ a para valores de n ímpares e pares. Determinaremos o valor de Γ(−1/2).

A função gama aparece na mecânica quântica em diferentes contextos, especialmente em cálculos relacionados a soluções de equações diferenciais, integrais complexas e teoria de operadores. Provavelmente, em tempo oportuno você poderá estudar alguns exemplos onde ela é aplicada, tais como: funções de onda e potenciais centrais, soluções para a equação de Schrödinger em sistemas que envolvem potenciais centrais (como o átomo de hidrogênio). Ao lidar com funções de onda associadas ao átomo de hidrogênio, as funções hipergeométricas aparecem, e a função gama é utilizada para normalizar essas soluções. A função gama pode ser utilizada na análise de integrais de partição, especialmente quando se trata de calcular a densidade de estados para sistemas que seguem estatísticas quânticas (como bósons e férmions); Pode ser utilizada no decaimento quântico e túnel quântico; Ela pode ser útil para calcular coeficientes de normalização e descrever funções de onda em termos de funções especiais que envolvem a função gama; Em Teoria de espalhamento e Teoria de campos quânticos; Ela aparece na quantização do oscilador harmônico, especialmente ao resolver integrais que envolvem estados energéticos elevados ou em aproximações semiclassicas, como a fórmula de WKB (Wentzel–Kramers–Brillouin).A função gama, portanto, é uma ferramenta matemática poderosa que facilita a resolução de uma variedade de problemas na mecânica quântica, permitindo simplificações e soluções para integrais complexas e funções de onda.

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