Матричные обратные имеют смысл: простое условие, когда обратное существует

Ознакомьтесь с Brilliant.org: https://brilliant.org/LookingGlassUni... (бесплатно зарегистрироваться - вам не нужно вводить данные кредитной карты)


Ссылка на мое линейное преобразование / матричное видео:    • Matrices, matrix multiplication and l...  
Ссылка на мои векторы и базы видео:    • Vector addition and basis vectors | L...  
Ссылка на мою (незарегистрированную) оригинальную версию этого видео:    • Matrix Inverses make sense  

Это видео касается матричных инверсий, и, в частности, я пытаюсь дать им немного больше интуиции, а не просто дать вам формулу для детерминанта, правилу Крамнера, обратное к матрицам 2x2 и 3x3 и т. Д. По пути мы охватывают некоторые темы, которые не получают достаточного внимания в линейной алгебре (по крайней мере, они не были в моих математических классах), как и левый обратный, и почему не квадратные матрицы не имеют обратного. Наконец, мы узнаем интуитивное условие, когда существует обратное.

Домашние вопросы

1. Что такое обратная матрица:
1 2
2 5

а)
-1 -2
-2 -5

б)
1 1/2
1/2 1/5

с)
1 -2
-2 5

г)
5 -2
-2 1

2. Докажите, что для квадратной матрицы левый инверсный = обратный

3. Докажите вышеприведенную матрицу:
1 2
2 5
сначала сделав эти 2 вопроса
a) Покажите, что M (1, 0) и M (0,1) для базиса. Т.е. старая основа получает сопоставление с новой базой.
б) Покажите MLv = v для любого вектора (этого достаточно, чтобы показать, что M отменяет L и, следовательно, показывает, что левый обратный равен обратному).
Для этого сначала напишите v как линейную комбинацию M (1, 0) и M (0,1).













подсказки:
3.
a) является простым, если вы смотрите мое первое видео с линейной алгеброй:    • Vector addition and basis vectors | L...  

б) Подставить выражение для v в MLv. Затем используйте линейность!

Q2.
a) (Доказывая, что базис всегда сопоставляется с другим основанием) Это немного сложно. Я выписал решение, но перестаю читать в тот момент, когда вы думаете, что знаете, что делать и попробовать.
Предположим, что v1, ..., vn - базис. Примените M к ним, чтобы получить Mv1, ..., Mvn.
Они являются основой, если они все еще линейно независимы. Но если бы они были, скажите:
Mv1 = a Mv2 + ... + d Mvn
Нанесите L на обе стороны:
LMv1 = L (a Mv2 + ... + d Mvn)
= a LMv2 + ... + d LMvn

используя LM = identity:
v1 = a v2 + ... + d vn.
Но это должно быть ложным, так как v1, ..., vn линейно indep.
Чтобы увидеть это (SPOILER ALERT) 9:20 в    • Matrix Inverses make sense  

б) Как только вы это сделаете, действуйте аналогично Q3, часть b)