Скачать или смотреть Комплексные числа, 11 класс, упражнение 4.1, решение вопроса № 1-10 с объяснением

Глава

4

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Математика — царица наук, а арифметика — царица математики. ГАУСС

4.1 Введение

На предыдущих занятиях мы изучали линейные уравнения с одной и двумя переменными, а также квадратные уравнения с одной переменной. Мы видели, что уравнение x^2 + 1 = 0 не имеет вещественного решения, так как x^2 + 1 = 0 даёт x^7 = -1, а квадрат любого вещественного числа неотрицателен. Поэтому нам нужно расширить систему вещественных чисел до более обширной системы, чтобы найти решение уравнения x^2 = -1. Фактически, главная цель — решить уравнение a * x^2 + bx + c = 0, где D = b^2 - 4ac 0, что невозможно в системе вещественных чисел.

4.2 Комплексные числа

lis

У. Р. Гамильтон (1805–1865)

Обозначим sqrt(-1) символом i. Тогда i ^ 2 = 1. Это означает, что i является решением уравнения x ^ 2 + 1 = 0. Число вида a + ib, где a и b — действительные числа, определяется как комплексное число. Например, 2 + 13, ( 1) + i * sqrt(3) — комплексные числа. Для комплексного числа = a + ib, a называется действительной частью, обозначаемой Re z, а b называется мнимой частью, обозначаемой Im z, комплексного числа z. Например, если z 2 + 15, то Re 2 и Im z = 5 4 + i(- 1/11).

Два комплексных числа, a + ib и z, c + id, равны, если a ≤ c и b = d.

Переиздание 2025-26

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 77

Пример 1. Если 4x + i(3x - y) = 3 + i(- 6), где x и y — действительные числа, найдите значения x и y.

Решение: 4x + i(3x - y) = 3 + i(- 6). Приравнивая действительное число и , получаем 3x - y = - 6, 4x = 3, которые при совместном решении дают x = 3/4 и y = 3 3/4.

...(1)

4.3 Алгебра комплексных чисел

В этом разделе мы разовьем алгебру комплексных чисел.

4.3.1 Сложение двух комплексных чисел. Пусть a и b и c + id — любые два комплексных числа. Тогда сумма zz определяется следующим образом: + = = (a + c) + i (h + d), что снова является комплексным числом.
Следовательно, мультипликативный обратный элемент для 2 - 3i задаётся формулой:

z^ -1 = надстрочная черта z |z| ^ 2 = (2 + 3i)/13 = 2/13 + 3/13 * i

Вышеприведенное уравнение можно воспроизвести следующим образом:

z ^ - 1 = 1/(2 - 3i) = (2 + 3i)/((2 - 3i)(2 + 3i))

= (2 + 3i)/(2 ^ 2 - (3i) ^ 2) = (2 + 3i)/13 = 2/13 + 3/13 * i

Пример 6. Представим следующее в виде a + ib

(1) (5 + sqrt(2) * i)/(1 - sqrt(2) * i)

(ii)

опубликовано

Решение (i) Имеем ve (5 + sqrt(2) * i)/(1 - sqrt(2i)) = (5 + sqrt(2i))/(1 - sqrt(2) * i) * (1 + sqrt(2i))/(i + sqrt(2i)) = (5 + 5sqrt(2) * i + sqrt(2) * i - 2)/(1 - (sqrt(2) * i) ^ 2) = (3 + 6sqrt(2) * i)/(1 + 2) = (3(1 + 2sqrt(2) * i))/3 = 1 + 2sqrt(2) * i .

(ii) i ^ - 35 = 1/(i ^ 35) = i/((i ^ 2) ^ 17 * i) = 1/(- i) * i/i = i/(- i ^ 2) = i

УПРАЖНЕНИЕ 4.1

Представьте каждое комплексное число, приведённое в упражнениях 1–10, в виде a + ib

(5i)(- 3/5 * i)

2. i ^ 9 + i ^ 19

i ^ - 39

Переиздание 2025-26

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 83

4. 3 (7 + i7) + i(7 + i7)

5. (1 - i) - (-1 + i6)

(1/5 + i * 2/5) - (4 + i * 5/2)

. [(1/3 + i * 7/3) + (4 + i * 1/3)] - (- 4/3 + i)

(1 - i) ^ 4 8.

9. (1/3 + 3i) ^ 3

(- 2 - 1/3 * i) ^ 3

Найдите мультипликативное обратное для каждого из комплексных чисел, приведенных в упражнениях 11–13.

4 - 3i

12. sqrt(5) + 3i

13.1

14. Представьте следующее выражение в виде a + ib

((3 + i * sqrt(5))(3 - i * sqrt(5)))/((sqrt(3) + sqrt(2) * i) - (sqrt(3) - i * sqrt(2)))

переиздано

4.5 Плоскость Аргана и полярная Представление

(-2,3)

A * (2, 4)

как ось x и ось y. Комплексное число ++++ (2,0) X

E(- 5, - 2)

C(0, 1)

пуля F(1, - 2)

Мы уже знаем, что каждой упорядоченной паре действительных чисел (x, y) соответствует единственная точка на плоскости XY, и наоборот. При этом известное число, соответствующее упорядоченной паре x + iy (x, y), можно геометрически представить как единственную точку на плоскости XY, и наоборот. P(x, y) Некоторые комплексные числа, такие как 2 + 4i, - 2 + 3i, 0 + 1i, 2 + 0i, - 5 - 2i и. 1–2i, соответствующие упорядоченным парам Y (2, 4), (2, 3), (0, 1), (2, 0), (-5, -2) и (1, 2) соответственно, геометрически представлены точками A, B, C, D, E и F соответственно на рис. 4.1.

Рис. 4.1