Grafisches Ableiten oder Differenzieren by Lernen & Wissen

Grafisches Ableiten
Hallo du da draußen, in diesem Tutorial geht es ums grafische Ableiten oder wie du, wenn du nur das Schaubild einer Funktion hast, deren Ableitung skizzieren und Fragen darüber beantworten kannst.

Gleich zu Beginn ein kleiner Trick, der in dieser Sache oft weiterhilft,
der NEW NEW NEW – Trick, was war das nochmal?

Das Ganze ist simpel: du schreibst die drei NEWs auf diese Weise versetzt untereinander,
und links daneben erst f dann die erste Ableitung f' und unten noch f''

Das N bedeutet Nullstellen, das E Extremstellen und das W Wendestellen.

Für uns bedeutet das, wenn wir eine Funktion ableiten wollen: Wir suchen als erstes die Extrempunkte, also Hoch- und Tiefpunkte, denn dort ist die Steigung Null. Da die ableitung f strich die die Steigung von f beschreibt hat f strich dort Nullstellen. Von diesen Extrempunkten lesen wir die x-Werte ab, das ist hier etwa -3,8 und -0,7 also hat die Ableitung, also f strich, an diesen Stellen Nullstellen, ist schon mal gut, das zu wissen und gibt, selbst wenn du mathematisch völlig verblödet bist, immer ein paar Pünktchen in der Mathearbeit.

Jetzt noch zum W im ersten new. Wendepunkte finde ich immer zwischen einem Hoch- und einem Tiefpunkt. Also etwa hier, dieser Punkt hat etwa den x-Wert -2,1, also wissen wir dass f strich an dieser stelle einen Extrempunkt hat, und zwar einen Tiefpunkt weil der Wendepunkt eine minus-steigung hat.
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Soweit, so gut, Einleitung beendet, es geht mit einer Aufgabe los hier eine konkrete Funktion f von x und du sollst jetzt die Ableitung f strich szizzieren und irgendwelche fragen dazu beantworten.

Bevor ich jetzt loslege noch einige gedanken zur sache: die funktion, die ich jetzt gleich skizziere, beschreibt die steigung, der hier abgebildeten funktion. Wenn du dir einen beliebigen punkt der abgebildeten funktion ansiehst solltest du erkennen, ob dort die steigung dort negativ oder positiv oder null ist. Bevor ich mit dem new new new trick anfange, kann ich durchaus mal n paar beliebige punkte der funktion ansehen und dort checken ob die steigung positiv oder negativ ist und dann die steigungszahl schätzen.
Für das checken ob die steigung negativ oder positiv ist, stellst du dir vor, du bist ein bergsteiger und wanderst auf der funktion in die positive x-richtung, weil du ein positiv denkender mensch bist. Wenn es aufwärts geht, wie hier oder hier, ist die steigung in diesen punkten auf jeden fall positiv, plus.
Wenn es aber abwärts geht, wie hier, oder hier, ist sie auf jeden fall negativ, minus. Und wenn du auf einem gipfel stehst (hier ein hochpunkt) oder an der tiefsten stelle in einem tal – hier ein tiefpunkt – ist die steigung immer null.

So, ich hab hier jetzt eine konkrete Funktion und soll die Ableitung skizzieren. Als erste such ich Hoch-, Tief- und, wenn's die auch gibt, Sattelpunkte, ich weiß dass dort die Steigung Null ist, die Ableitung f strich hat also dort auf jeden Fall eine Nullstelle.