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कक्षा 12 गणित - अध्याय 1: संबंध और फलन (Relations and Functions)
संबंध (Relations):

संबंधों के प्रकार (Types of Relations):

रिक्त संबंध (Empty Relation): कोई भी अवयव किसी भी अवयव से संबंधित नहीं होता है।

सार्वत्रिक संबंध (Universal Relation): प्रत्येक अवयव प्रत्येक अवयव से संबंधित होता है।

स्वतुल्य संबंध (Reflexive Relation): प्रत्येक अवयव स्वयं से संबंधित होता है (aRa)।

सममित संबंध (Symmetric Relation): यदि aRb है, तो bRa भी होता है।

संक्रामक संबंध (Transitive Relation): यदि aRb और bRc है, तो aRc भी होता है।

तुल्यता संबंध (Equivalence Relation): एक संबंध जो स्वतुल्य, सममित और संक्रामक तीनों होता है।

तुल्यता वर्ग (Equivalence Classes): यह समझना कि एक तुल्यता संबंध एक समुच्चय को कैसे विभाजित करता है।

फलन (Functions):

फलनों के प्रकार (Types of Functions):

एकैकी (Injective) फलन (One-to-one Function): भिन्न-भिन्न अवयवों के भिन्न-भिन्न प्रतिबिंब होते हैं।

आच्छादक (Surjective) फलन (Onto Function): सह-प्रांत (codomain) के प्रत्येक अवयव का प्रांत (domain) में कम से कम एक पूर्व-प्रतिबिंब (pre-image) होता है।

एकैकी आच्छादक (Bijective) फलन: एक फलन जो एकैकी और आच्छादक दोनों होता है।

फलनों का संयोजन (Composition of Functions - gof और fog): परिभाषा और गुण।

व्युत्क्रमणीय फलन (Invertible Functions):

व्युत्क्रम फलन की परिभाषा।

एक फलन के व्युत्क्रमणीय होने की शर्तें (यह एकैकी आच्छादक होना चाहिए)।

फलन का व्युत्क्रम ज्ञात करना।

द्विआधारी संक्रियाएँ (Binary Operations):

एक द्विआधारी संक्रिया की परिभाषा।

क्रमविनिमेयता (Commutativity): a∗b=b∗a

साहचर्यता (Associativity): (a∗b)∗c=a∗(b∗c)

तत्समक अवयव (Identity Element): एक अवयव 'e' ऐसा होता है कि a∗e=e∗a=a।

अवयव का प्रतिलोम (Inverse of an Element): एक अवयव 'a' के लिए, एक अवयव 'b' ऐसा होता है कि a∗b=b∗a=e (तत्समक)


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