Les structures algebriques : Morphismes de groupes

Soit G un groupe abélien et f : G → G un morphisme de groupes.

a) Montrer que f(x^n) = f(x)^n pour tout x ∈ G et tout entier positif n.

b) En utilisant a), montrer que f(x^{-1}) = f(x)^{-1} pour tout x ∈ G.

c) En déduire que f est un morphisme de groupes inversibles.

Soit G un groupe et f : G → G un morphisme de groupes.

a) Montrer que f(e_G) = e_G, où e_G est l'élément neutre de G.

b) Soit H un sous-groupe de G. Montrer que f(H) est un sous-groupe de G.

c) Soit K un sous-groupe normal de G. Montrer que f(K) est un sous-groupe normal de G.

Soit G = U(8) le groupe des éléments inversibles de Z/8Z muni de la multiplication modulo 8. Déterminer tous les morphismes de G dans lui-même.

Réponses :

a) On procède par récurrence sur n. Pour n = 1, on a f(x^1) = f(x)^1. Supposons maintenant que f(x^n) = f(x)^n pour un certain entier positif n. Alors f(x^{n+1}) = f(x^n) * f(x) = f(x)^n * f(x) = f(x)^{n+1} par définition du morphisme.

b) Comme f(x) * f(x^{-1}) = f(xx^{-1}) = f(e) = e, on a que f(x)^{-1} est l'inverse de f(x) pour tout x ∈ G. En particulier, f(x^{-1}) est l'inverse de f(x). Donc f(x^{-1}) = f(x)^{-1}.

c) Soit y un élément quelconque de G. Alors y * f(y^{-1}) = e, donc f(y^{-1}) est l'inverse de y pour tout y ∈ G. De plus, pour tout x, y ∈ G, on a

f(xy) * f((xy)^{-1}) = f(xy) * f(y^{-1}x^{-1}) = f(x) * f(y) * f(y^{-1}) * f(x^{-1}) = f(x) * f(x^{-1}) = e.

Donc f(xy) * (f(x^{-1}) * f(y^{-1})) = e, ce qui prouve que f est un morphisme de groupes inversibles.

a) On a e_G * e_G = e_G, donc f(e_G) * f(e_G) = f(e_G). En multipliant des deux côtés par (f(e_G))^{-1}, on obtient f(e_G) = e_G.

b) Soit h ∈ H. Alors f(h) * f(h^{-1}) = f(e_G) = e_G, donc f(h) est inversible et son inverse est f(h^{-1}). En outre, pour tout h, k ∈ H, on a h * k^{-1} ∈ H car H est un sous-groupe. Donc f(h) * f(k^{-1}) = f(h * k^{-1}) ∈ f(H), ce qui prouve que f(H) est un sous-groupe de G.

c) Soit k ∈ K. Alors pour tout g ∈ G, on a g * k * g^{-1} ∈ K car K est un sous-groupe normal de G. Donc f(g) * f(k) * f(g)^{-1} ∈ f(K), ce qui prouve que f(K) est un sous-groupe normal de G.

On sait que U(8) = {1, 3, 5, 7}. On remarque que f(1) doit être égal à 1, car f(1) * f(1) = f(1) implique f(1) = 1 ou f(1) = -1, mais -1 n'appartient pas à U(8).

Ensuite, on remarque que f(3) peut être soit 3 soit 5, car ce sont les seuls éléments qui ont un ordre impair dans U(8). De même, f(5) peut être soit 5 soit 7.

Enfin, on remarque que f(7) doit être égal à 7 car il est d'ordre 2.

Donc il y a exactement 4 morphismes de U(8) dans U(8) :

l'identité,