Das Regula Falsi Verfahren, Klassische Algebra #40

Was ist das Regular-Falsi-Verfahren beziehungsweise das Sekantennäherungsverfahren und wie lassen sich mithilfe des Regular-Falsi-Verfahrens reelle Gleichungen mit einer reellen Unbekannten numerisch, mit im Prinzip beliebiger Genauigkeit, lösen?



Dipl. Physiker Dietmar Haase zeigt in diesem Video, wie sich die Nullstellen einer reellen nichtlinearen Funktion mit einer reellen Variablen mit dem Regular-Falsi-Verfahren numerisch finden lassen. Das Regular-Falsi-Verfahren findet in der Regel Anwendung um Gleichungen, die sich auf algebraischen Wege entweder gar nicht oder nur mit einem erheblichen Rechenaufwand lösen lassen. Es wird gezeigt, dass zwei Voraussetzungen an die betrachteten Funktionen erfüllt werden müssen um das Regular-Falsi-Verfahren erfolgreich anwenden zu können. Zunächst müssen die Funktionen auf einem abgeschlossenen reellen Intervall stetig sein und desweiteren müssen die Funktionswerte an den Intervallrändern verschiedene Vorzeichen haben. Unter diesen beiden Voraussetzungen lässt sich dann der Zwischenwertsatz von Bolzano anwenden, der garantiert, dass in dem abgeschlossenen betrachteten Intervall mindestens eine reelle Nullstelle der Funktion liegen muss. Bei dem Regular-Falsi-Verfahren handelt es sich um ein sehr zuverlässiges numerisches Verfahren, mit dem die Nullstellen einer reellen Funktion mit einer Unbekannten mit im Prinzip beliebiger Genauigkeit berechnet werden können. Der Algorithmus des Regular-Falsi-Verfahren besteht im Wesentlichen darin, dass iterativ Sekanten an die gegebene reelle Funktion gelegt weren deren Nullstellen gegen die gesuchte Nullstelle der Funktion konvergieren. Daher wird das Regular-Falsi-Verfahren auch als Sekantennäherungsverfahren bezeichnet. Anhand einer konkreten Beispielaufgabe wird ausführlich gezeigt, wie das Regular-Falsi-Verfahren in der Praxis anzuwenden ist.

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