Structures de données avancées : tables de hachage, arbres équilibrés (AVL, B-trees), tas

Découvrez les structures de données avancées dans cette vidéo pédagogique de 10 minutes. Nous explorons les tables de hachage, les arbres équilibrés (AVL et B-trees), et les tas. Apprenez comment ces structures permettent une gestion efficace des données grâce à des explications claires, des formules mathématiques, et des animations visuelles captivantes. Idéal pour les étudiants en Master 2 en mathématiques appliquées et les passionnés de programmation qui souhaitent approfondir leurs connaissances.
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[Leçon : Structures de Données Avancées]

Chapitre 1 : Tables de Hachage

Objectif : Comprendre le fonctionnement des tables de hachage, leur efficacité pour les opérations d'accès, et la gestion des collisions.

1. Introduction et Définition

Explication : Une table de hachage est une structure de données qui associe des clés à des valeurs. Elle utilise une fonction de hachage pour déterminer la position d'une valeur dans un tableau.

Formule : , où est la clé et est la taille de la table.

2. Fonction de Hachage

Explication : La fonction de hachage transforme la clé en un indice dans la table. Une bonne fonction de hachage minimise les collisions et garantit une distribution uniforme des clés.

Exemple : Pour des clés entières, on peut utiliser la fonction modulo comme illustrée ci-dessus.

3. Gestion des Collisions

Méthodes :

Chaînage : Utilisation de listes chaînées pour stocker plusieurs éléments à la même position.

Probing linéaire : Si une position est occupée, la recherche se déplace à la position suivante jusqu'à en trouver une libre.

Complexité : La recherche et l'insertion ont une complexité moyenne de et peuvent atteindre dans le pire des cas (en fonction de la gestion des collisions).

4. Exemple Concret

Exemple : Considérons une table de hachage de taille 7 avec les clés 10, 22, et 31.

Calcul : , , (collision).

Résolution : En utilisant le chaînage, les éléments 10 et 31 seront stockés dans la même liste au même indice.

Chapitre 2 : Arbres Équilibrés

Objectif : Explorer les arbres équilibrés, tels que les arbres AVL et les B-trees, et leur utilité dans le maintien d'une structure ordonnée et équilibrée pour les données.

Section 2.1 : Arbres AVL

Définition : Un arbre AVL est un arbre binaire de recherche où la différence de hauteur entre les sous-arbres de tout nœud est d'au plus 1.

Propriétés : Le rééquilibrage de l'arbre après chaque insertion ou suppression garantit une complexité de .

Rotations :

Rotation à droite et rotation à gauche : Ces opérations maintiennent l'équilibre de l’arbre en redistribuant les sous-arbres.

Exemple : Insertion de nœuds dans un arbre provoquant un déséquilibre, suivi d'une rotation simple pour rééquilibrer.

Formules :
Hauteur maximale : Pour un arbre AVL de nœuds, .

Exemple Concret :

Insertion : Considérons un arbre AVL avec les nœuds 10, 20, et 30. Une insertion de 15 provoque un déséquilibre, nécessitant une rotation pour rétablir l'équilibre.

Section 2.2 : B-Trees

Définition : Les B-trees sont des arbres équilibrés qui permettent un accès rapide aux données, utilisés dans les bases de données pour gérer de grands ensembles de données.

Propriétés : Un B-tree de degré a entre et clés par nœud.

Insertion et Suppression : Chaque insertion ou suppression de clé peut provoquer un fractionnement ou une fusion des nœuds.

Exemple Concret :

Insertion : Considérons un B-tree de degré 2. Insertion des clés 10, 20, 5, 6, 12, 30, 7, et 17 provoque un fractionnement pour maintenir l'équilibre.

Complexité : Le temps d'accès et d'insertion est de .

Chapitre 3 : Tas (Heaps)

Objectif : Étudier la structure des tas, en particulier les tas binaire et les tas de Fibonacci, et leur efficacité pour les opérations de priorité.

1. Définition et Types

Tas Binaire : Un tas binaire est une structure d’arbre où chaque nœud parent est plus grand (max-heap) ou plus petit (min-heap) que ses enfants.

Tas de Fibonacci : Une version plus flexible et plus performante, notamment utilisée dans les algorithmes de graphes.

2. Opérations sur les Tas Binaires

Insertion : Ajout d'un nouvel élément en bas de l'arbre et montée jusqu'à la bonne position.

Suppression : Suppression de l’élément racine suivie du déplacement de l'élément le plus bas vers la racine et réorganisation.

3. Complexité des Tas Binaires

Insertion : .

Suppression : .

Accès au maximum ou minimum : .

4. Exemple Concret

Insertion et Réorganisation : Insertion des éléments 3, 10, 5, et 1 dans un tas max, suivi de la réorganisation pour maintenir la propriété de tas.

5. Courbes et Visualisation

Graphique : Tracer la courbe de complexité pour montrer la performance des tas binaires et de Fibonacci