Boules ouvertes, Boules fermées, sphères - définitions et exemples

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Cette vidéo fait partie du cours "Espaces vectoriels normés, espaces métriques":    • Distances | Espaces Métriques: Défini...  


Dans cette vidéo, j’introduis les notions de “Boule ouverte”, “Boule fermée” et “sphère” dans le contexte des espaces métriques, ou des espaces vectoriels normés. Si (E,d) est un espace métrique, a un élément de E et r un nombre réel positif, la boule ouverte B(a,r) de centre a de et rayon r est l’ensemble des éléments de E dont la distance au point a est strictement plus petite que r. La boule fermée B’(a,r) de centre a de et rayon r est l’ensemble des éléments de E dont la distance au point a est inférieure ou égale à r. Et finalement, la sphère S(a,r) de centre a de et rayon r est l’ensemble des éléments de E dont la distance au point a est exactement égale à r. Dans l’espace Euclidien R^3 muni de la distance usuelle, la notion de sphère coïncide avec la notion classique de sphère, ce qui justifie la terminologie. Dans le reste de la vidéo, je dessine les boules du plan de centre (0,0) et de rayon 1, pour les normes un, deux et infini. On constatera qu’une boule n’a pas forcément la forme d’un disque, ça peut avoir la forme d’un carré ou d’un losange !!