V39 Espace pré hilbertien réel (Dr. HADDI )

Un espace pré hilbertien réel, est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire. Il s"agit de la généralisation de nos espaces euclidiens classiques R2 et R3 ( Dans le lycée on commence par les angles et les longueurs et on définit ensuite le produit scalaire, en S4 on fait l'inverse, c'est le produit scalaire qui va définir l'écart angulaire et la norme euclidienne ).
Noter la méthode de travail, pour montrer qu'une application est un produit scalaire, on commence par la symétrie, ce qui nous évite de vérifier la double linéarité de l'application. Enfin, on montre que la forme bilinéaire est définie positive . Pour le caractère défini positive de l'application, on a deux versions équivalentes, selon que le produit scalaire est une limite ou non ( Je fais allusion à une intégrale impropre et aux séries ). A cet effet, nous avions proposé? des exemples éclairants où nous utilisons sous-silence le S2 chapitre intégration .