Скачать или смотреть UNE RENCONTRE ENTRE L'ALGÈBRE LINÉAIRE ET L'ANALYSE COMPLEXE (Introduction à la théorie spectrale)

Récemment, j'ai été mis sur la voie de la théorie spectrale, une théorie mathématique qui s’intéresse à l’étude du spectre. Sa motivation principale est l’importance du spectre en physique, par exemple en mécanique quantique.

Ayant une formation de physicien, l’accès complet à la théorie spectrale m’est difficile. En revanche, mon intérêt pour les mathématiques, et en particulier pour les démonstrations à l’interface entre plusieurs domaines, m’a invité à m’y plonger un peu. De plus, l’analyse complexe est un outil élégant, et j’ai eu plaisir à l’utiliser d’une manière différente de son emploi habituel en physique.

Dans cette vidéo, j’expose une expression analytique des projecteurs spectraux et je présente une reformulation du théorème de décomposition de Dunford en utilisant l’analyse complexe. Je reste en dimension finie, donc tous les résultats d’algèbre linéaire évoqués sont au programme des classes préparatoires/licences. En revanche, bien que certains résultats soient rappelés, de bonnes bases en analyse complexe sont nécessaires pour apprécier pleinement la vidéo.

Bonne vidéo !!!

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Références :
Phil Caldero 1 :    • Une preuve analytique du théorème de Cayle...  
Phil Caldero 2 :    • Les projecteurs spectraux par l'analyse co...  
Notes de cours de théorie spectrale (Stéphane Nonnenmacher) : https://www.imo.universite-paris-sacl...

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00:00 Introdution

Première partie : Rappels d'analyse complexe
01:45 Indice d'un chemin
02:56 Théorème de Cauchy intégral
03:33 Première formule intégrale de Cauchy
04:19 Série de Laurent, résidu, Théorème des résidus
06:34 Principe de l'argument

Deuxième partie : Résolvante et spectre
09:21 Ensembe résolvant et application résolvante
10:18 Identité de la résolvante
10:52 Formule de trace
13:26 Spectre, rayon spectral

Troisième partie : Projecteurs spectraux
14:40 Rappels sur les projecteurs spectraux
17:11 Expression analytique des projecteurs spectraux
30:35 Résultat de commutation

Quatrième partie : Décomposition de Dunford
32:55 Expression analytique de l'induite
39:15 Spectre de l'induite
40:13 Décomposition de Dunford sur un sous-espace caractéristique
41:02 Décomposition de Dunford
43:47 Expression analytique de la partie diagonalisable de la décomposition de Dunford

46:51 Conclusion

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