Del barco pirata de Apolonio al misil antiaéreo

Del barco pirata de Apolonio al misil antiaéreo de las guerras contemporáneas.: Más de 2.000 años de curvas de persecución

Ciencia para todos 2024
Ildefonso Díaz, Universidad Complutense de Madrid.
20 de junio de 2024

0:00 Presentación a cargo de Juan Luis Vázquez.
7:10 Comienza la intervención de Ildefonso Díaz
1:04:55 Preguntas del público

Se conoce a Apolonio (Perga c. 262 a.C.-Alejandría c. 190 a.C.) como "el gran geómetra" por haber expuesto en sus ocho libros (recuperados gracias a la traducción al árabe) la geometría de las curvas que desde entonces llevan los nombres de elipses, parábolas e hipérbolas y que fueron un apoyo fundamental en la teoría matemática de Kepler y de Newton sobre el sistema planetario. Se atribuye a Apolonio la sugerencia de estudiar la trayectoria de un barco pirata que persigue a un navío mercante. Su estudio, puramente geométrico, dio lugar al llamado "círculo de Apolonio".

En realidad, se puede decir que casi doscientos años antes ya se había contemplado un problema de persecución muy famoso: la paradoja de Aquiles y la tortuga de Zenón de Elea (c. 490-430 a.C.) y que hoy es un excelente motivo para la introducción del concepto de límite de una sucesión.

Pese a los posibles estudios atribuidos a Leonardo da Vinci, las curvas de persecución no alcanzaron su desarrollo hasta la introducción del concepto de derivada en el último tercio del siglo XVII por Newton (en 1664 1666) y Leibniz (en 1675), al crear, de forma independiente, el Cálculo. En 1732 Pierre Bouger (1698-1758) propuso a Leibniz (1646-1716) el problema.

En realidad, es muy conveniente comenzar analizando un problema previo: la curva de arrastre o Tractriz, un tema que bien podrá ser objeto de una conferencia. El problema fue propuesto por el arquitecto parisino Perrault (1613-1688) y fue Huygens (1629-1695) quien en su estudio geométrico le atribuyó el citado nombre. Hay muchas posibles formulaciones, pero la más sencilla es la analizar la curva descrita por un reloj de bolsillo cuando el extremo de su cadena se mueve sobre un segmento rectilíneo. Otro caso muy notable es cuando el extremo recorre una circunferencia. La tractriz tiene muchas propiedades notables. Por ejemplo, al hacerla rotar sobre su asíntota genera una superficie denominada pseudoesfera que aparece en el diseño de trompetas e instrumentos de viento y que es muy relevante en geometrías no euclidianas de Lobatschenswki (1792-1856).

Volviendo al caso de las curvas de persecución, de nuevo es aconsejable analizar primero el caso en el que el barco mercante (que también puede reemplazarle por el dueño de un perro, un corredor haciendo jogging, o un avión o misil enemigo) se mueva sobre una recta para más tarde abordar el caso en el que su movimiento sea sobre una curva conocida general. La trayectoria del barco pirata (o del perro que intenta alcanzar a su amo, a un corredor en el parque, o de un misil antiaéreo, como los famosos Parriots que se lanzaron en la Guerra del Golfo y que vemos en las presentes fechas en las guerras de Ucrania y Gaza) no es una tractriz sino una curva diferente. Se puede encontrar una condición, necesaria y suficiente, sobre la diferencia de los módulos de las velocidades para que la persecución acabe en un tiempo finito o, por el contrario, se dé el "escape" del perseguido.

Analizaremos también el caso relativista en el que la información visual se hace a la velocidad finita de la luz, lo que da lugar a un planteamiento en el que aparece un tiempo de retardo.



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