Скачать или смотреть Numeri e Insiemi Numerici. Introduzione all'Algebra

NUMERI E INSIEMI NUMERICI. INTRODUZIONE ALL'ALGEBRA
L'Algebra è la branca della Matematica che si occupa della semplificazione delle Espressioni Algebriche e della risoluzione delle Equazioni (cioè di eguaglianze verificabili tra determinate Espressioni Algebriche). Per comprendere l'Algebra, è fondamentale avere una buona conoscenza dei Numeri e degli Insiemi Numerici, tenendo conto che un Insieme è un gruppo di oggetti unici, chiamati Elementi.
Un Numero è un'entità matematica, che si esprime con una o più "Cifre" e che rappresenta una Quantità relativa a una misura. I numeri possono essere utilizzati per contare, misurare, ordinare e confrontare quantità. Un Insieme Numerico è, invece, una porzione di numeri che presentano proprietà o caratteristiche comuni: aritmetiche (come nei numeri interi, geometriche (come nei numeri reali) o algebriche (come nei numeri complessi). Esempi di Insiemi Numerici includono i Numeri Naturali (ℕ), i Numeri Interi (ℤ), i Numeri Razionali (ℚ), i Numeri Reali (ℝ) e i Numeri Complessi (ℂ), classificabili reciprocamente come Sottoinsiemi (ℕ⊆ℤ⊆ℚ⊆ℝ⊆ℂ). I Simboli Insiemistici più utilizzati per questo tipo di descrizione sono:
∈: appartiene a (es. 2∈ℕ)
∉: non appartiene a (es. √2∉ℚ)
⊆: sottoinsieme di (es. ℕ⊆ℤ)
⊇: soprainsieme di (es. ℤ⊇ℕ)
/: "eccetto"
∪: unione di insiemi (es.ℚ∪(ℝ\ℚ=ℝ)
∩: intersezione di insiemi (es. ℚ∩(ℝ\ℚ)=∅)
I Numeri Naturali (ℕ), ℕ={1,2,3,...}, sono i numeri interi positivi utilizzati per contare.
I Numeri Interi (ℤ), ℤ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}, includono tutti i Numeri Naturali, lo Zero e i Numeri Negativi opposti ai corrispettivi positivi; in pratica ciascun numero intero deriva da una frazione in cui il denominatore è 1 (5=5/1,...), chiamata "Frazione Impropria" o da frazioni in cui il Numeratore è un multiplo intero del Denominatore (5=15/3=25/5=...), chiamate "Frazioni Apparenti" o, in generale, "Frazioni Equivalenti".
I Numeri Razionali (ℚ), ℚ={a/b | a∈ℤ, b∈ℤ, b≠0}, sono numeri che possono essere espressi come rapporto tra due numeri interi, con il denominatore diverso da zero; è chiaro, quindi, che, sia nei numeri Interi che nei Numeri Razionali, è possibile identificare infinite classi di Frazioni equivalenti (ciascuna a definizione di un numero e ciascuna antecedente o postecedente un'altra). In altre parole, ogni Classe di Equivalenza contiene infinite frazioni equivalenti che rappresentano lo stesso unico numero razionale, preceduto su una Retta di rappresentazione da un numero razionale più piccolo e seguito su tale retta da un numero razionale più grande. Questo significa che i Numeri Razionali sono densamente ordinati, cioè tra due numeri razionali qualsiasi, esiste sempre un altro numero razionale. Fanno parte dei Numeri Razionali tutti i Numeri Decimali Finiti e Infiniti con Periodicità.
I Numeri Irrazionali, {𝕀=ℝ\ℚ} sono Numeri Reali che non possono essere espressi come rapporto (frazione tra) di due numeri interi; esempi di numeri irrazionali includono: "π" (Pi Greco) "e" (Numero di Eulero), √2 (Radice Quadrata di 2) e √3 (Radice Quadrata di 3). Essi sono, in pratica, i Numeri Decimali Infiniti e Aperiodici.
I Numeri Reali (ℝ), ℝ={ℚ∪(ℝ\ℚ} includono tutti i Numeri Razionali (ℚ) e tutti i Numeri Irrazionali (𝕀).
I Numeri Complessi, ℂ={a+bi | a,b∈ℝ}, i=√(-1)} sono numeri che possono essere espressi nella forma a+bi, dove a e b sono numeri reali e i=√(-1) è l'"Unità Immaginaria". Appare, quindi, chiaro che i Numeri Complessi costituiscono la Totalità dei Numeri e che i Numeri Reali sono un sottoinsieme dei Numeri Complessi; infatti, ogni numero reale può essere considerato come un numero complesso avente la parte immaginaria uguale a zero. Ad esempio, il numero reale 5 può essere scritto come n5+0i, con b=0, che è un numero complesso. Quindi, ℝ⊆ℂ, ovvero l'Insieme dei Numeri Reali è un Sottoinsieme dell'Insieme dei Numeri Complessi.
E' possibile, infine, riassumere le principali relazioni tra gli Insiemi Numerici:
ℕ⊆ℤ⊆ℚ⊆ℝ⊆ℂ (i Numeri Naturali sono un Sottoinsieme dei Numeri Interi, che sono un Sottoinsieme dei Numeri Razionali, che sono un Sottoinsieme dei Numeri Reali, che sono un Sottoinsieme dei Numeri Complessi)
ℝ=ℚ∪(ℝ\ℚ) (i Numeri Reali sono l'unione tra i Numeri Razionali e i Numeri Irrazionali)
ℚ∩(ℝ\ℚ)=∅ (l'Intersezione tra Numeri Razionali e Numeri Irrazionali è vuota)
#matematica #algebra #aritmetica #geometria #insiemistica