Зайдите на Squarespace.com, чтобы получить бесплатный пробный период, а когда будете готовы к запуску, перейдите по ссылке http://www.squarespace.com/parthg, чтобы получить скидку 10% на первую покупку веб-сайта или домена.
#мнимоечисло #комплексныечисла #физика
В этом видео мы рассмотрим основы комплексных и мнимых чисел и их применение в физике!
Для начала мы определим «мнимое число» i как квадратный корень из -1. Нам часто говорят, что отрицательные числа не могут иметь квадратный корень, но мнимые числа основаны на идее, что это возможно. Инженеры часто используют j для обозначения мнимого числа, но мы будем придерживаться i.
Мнимое число можно сложить с «действительным» числом (которое не имеет множителя i), чтобы получить «комплексное» число. Мы рассмотрим, как два действительных числа можно складывать, а также умножать.
Мнимые числа не лежат на (действительной) числовой прямой, а находятся на оси, перпендикулярной к ней. Таким образом, у нас есть действительная и мнимая оси, образующие абстрактное пространство. Этот график/пространство называется диаграммой Аргана и может быть использован для представления любого комплексного числа. Для этого нужно начать с начала координат, сместиться на столько же единиц в действительном направлении, сколько равна действительной составляющей, а затем на столько же единиц в перпендикулярном, мнимом направлении, сколько равна мнимой составляющей. Точка, в которой мы окажемся, и будет представлять наше комплексное число.
Комплексное число также можно представить вектором из начала координат в соответствующую точку на диаграмме Аргана, так что его горизонтальная составляющая будет действительной частью, а вертикальная — мнимой. Используя эти знания, а также основы тригонометрии, мы можем определить две новые величины, известные как модуль (длина) вектора и аргумент (угол к действительной оси). Эти две информации так же полезны для определения комплексного числа, как и знание его действительной и мнимой частей.
Мы можем использовать эту информацию, чтобы записать комплексное число через его абсолютное значение, а также синусы и косинусы его аргумента. Однако эту последнюю часть можно преобразовать в гораздо более простую комплексную экспоненту, используя тождество Эйлера (https://en.wikipedia.org/wiki/Euler's.... Мы рассмотрим основы экспоненциальной функции, а также то, насколько проще работать с комплексными экспонентами, чем с синусами и косинусами (поскольку экспоненты проще умножать).
Затем мы рассмотрим два случая в физике, когда нам нужно представить системы с помощью синусов и косинусов. Первый — это механический гармонический осциллятор, например, груз, колеблющийся на пружине. Вместо того, чтобы использовать синус (или косинус), представляющий движение груза, мы можем представить его с помощью комплексного числа, изменяющегося во времени, выполнить необходимые вычисления, а затем просто взять действительную часть комплексного числа. Вычисление действительной части подразумевает простое чтение действительной части и игнорирование мнимой. Это работает, поскольку две компоненты отделены друг от друга (или перпендикулярны на диаграмме Аргана). Та же логика применима для представления электрических цепей с синусоидальной разностью входных потенциалов. Это полезно, когда в цепи есть конденсаторы, катушки индуктивности или резисторы, поскольку напряжение и ток не всегда совпадают по фазе.
Наконец, мы рассмотрим, почему квантовые волновые функции являются комплексными. Хотя квадрат (модуль) волновой функции относится к действительным, измеримым вероятностям, а квадрат модуля не является комплексным, комплексность волновой функции можно измерить более тонкими и косвенными способами, например, с помощью эффекта Ааронова-Бома. Подробнее об этом можно узнать по ссылкам ниже, так как я снял полное видео, где это обсуждается.
Ссылки на видео в разделе «Карточки»:
• Why Ohm's Law is NOT V=IR - there's more t...
• Wave Functions in Quantum Mechanics: The S...
• We DON'T Understand Magnetism (According t...
Большое спасибо за просмотр! Обязательно загляните в мои соцсети:
Instagram — @parthvlogs
Patreon — patreon.com/parthg
Music Channel — Parth G's Shenanigans
Merch — https://parth-gs-merch-stand.creator-...
Многие из вас спрашивали о том, что я использую для создания своих видео, поэтому я публикую здесь партнёрские ссылки! Я получаю небольшую комиссию, если вы совершаете покупки по этим ссылкам. Книга по квантовой физике, которая мне нравится: https://amzn.to/3sxLlgL
Моя камера (Sony A6400): https://amzn.to/2SjZzWq
Нейтральный фильтр: https://amzn.to/3qoGwHk
Микрофон и подставка (Fifine): https://amzn.to/2OwyWvt
Штатив Gorillapod: https://amzn.to/3wQ0L2Q
Временные метки:
0:00 - Что такое мнимые, действительные и комплексные числа и как их складывать?
3:18 — Представление комплексных чисел на диаграмме Аргана
5:08 — Модуль и аргумент комплексного числа
6:10 — Тригонометрические тождества и показательные функции
7:59 — Тождество Эйлера (и почему мы с ним так заморачиваемся)
9:28 — Колеблющаяся масса н...
Информация по комментариям в разработке