Скачать или смотреть একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা 160m, দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত হলে ইহার ক্ষেত্রফল বৃহত্তম হবে?

Question:
একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা 160m, দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত হলে ইহার ক্ষেত্রফল বৃহত্তম হবে?

A) 40, 40
B) 50, 30
C) 60, 20
D) 45, 35

✅ সঠিক উত্তরঃ A) 40, 40

✅ Source Url : https://addresacademy.com/?questions_id=30...

📘 Hints:
গৃহসমান/লঘুমানের ক্ষেত্রফল বের করার কনসেপ্ট থেকে বৃহত্তম ক্ষেত্রফল বের করতে পারবে।

Solve: ধরি, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য \(x\) এবং প্রস্থ \(y\)
অতএব, পরিসীমা, \(2(x+y) = 160 \Rightarrow x + y = 80 \Rightarrow y = (80 - x)\)
এখন, ক্ষেত্রফল, \(f(x) = xy = x(80 - x) = 80x - x^2\)
ক্ষেত্রফল \(f(x)\) বৃহত্তম হলে হবে \(f'(x) = 0\) থেকে প্রাপ্ত \(x\) এর মানের জন্য
\(f''(x) = \text{ঋণাত্মক} হতে হবে।
\(f'(x) = 80 - 2x = 0 \Rightarrow x = 40\)
\(f''(x) = -2\), যা ঋণাত্মক

অতএব, ক্ষেত্রফল বৃহত্তম হলে দৈর্ঘ্য হবে, \(x = 40\text{m}\)
প্রস্থ, \(y = 80 - 40 = 40\text{m}\)

Ans. (A)

ব্যাখ্যা:
গৃহমান কিংবা লঘুমানের অংশগুলো আমরা যেভাবে করি এ প্রশ্নটিও ক্ষেত্রেও একই Method Follow করা হয়েছে। দৈর্ঘ্য ও প্রস্থকে প্রথমে পরিসীমার সূত্র থেকে \(x\) ও \(y\) কে এক চলকে অর্থাৎ \(y = (80 - x)\) আকারে প্রকাশ করা হয়েছে। যে কারণে \(y\) এর Value পাওয়া গেছে \((80 - x)\)।

এরপর ক্ষেত্রফলেরও \(x\) এর ফাংশন রূপ দেওয়া হয়েছে। সর্বোচ্চে একটি চলকে আনার পর ক্ষেত্রফলের ফাংশনালিটিকে \((f(x))\) একবার অন্তরীকরণ ও দ্বিতীয় অন্তরীকরণ করার পর দেখা যাচ্ছে \(f''(x)\) সরাসরি ঋণাত্মক এসেছে। অর্থাৎ, \(f'(x)\) থেকে প্রাপ্ত মান না বসিয়েই জানা গেলো, এ মানের জন্য \(f(x)\) ফাংশনটি গুরুত্ববান বিদ্যমান। অর্থাৎ \(x\) এর এ মানের জন্য আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল বৃহত্তম হবে।
সুতরাং, \(x\) এর এ মান অর্থাৎ \(40\text{m}\) হচ্ছে আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য, আর \(y = 80 - x = 80 - 40 = 40\text{m}\) হচ্ছে আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ।

মূলত আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল তখনই সর্বো??্চ হবে যখন আয়তটি একটি বর্গক্ষেত্রে পরিণত হবে। এক্ষেত্রে তাই দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয়ই \(40\text{m}\) করে হয়েছে।

By Technique:
Option (A) তে \(40 \times 40 = 1600 \, \text{m}^2\)
(B) তে \(50 \times 30 = 1500 \, \text{m}^2\):
Hints:
গৃহসমান/লঘুমানের ক্ষেত্রফল বের করার কনসেপ্ট থেকে বৃহত্তম ক্ষেত্রফল বের করতে পারবে।

Solve: ধরি, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য \(x\) এবং প্রস্থ \(y\)
অতএব, পরিসীমা, \(2(x+y) = 160 \Rightarrow x + y = 80 \Rightarrow y = (80 - x)\)
এখন, ক্ষেত্রফল, \(f(x) = xy = x(80 - x) = 80x - x^2\)
ক্ষেত্রফল \(f(x)\) বৃহত্তম হলে হবে \(f'(x) = 0\) থেকে প্রাপ্ত \(x\) এর মানের জন্য
\(f''(x) = \text{ঋণাত্মক} হতে হবে।
\(f'(x) = 80 - 2x = 0 \Rightarrow x = 40\)
\(f''(x) = -2\), যা ঋণাত্মক

অতএব, ক্ষেত্রফল বৃহত্তম হলে দৈর্ঘ্য হবে, \(x = 40\text{m}\)
প্রস্থ, \(y = 80 - 40 = 40\text{m}\)

Ans. (A)

ব্যাখ্যা:
গৃহমান কিংবা লঘুমানের অংশগুলো আমরা যেভাবে করি এ প্রশ্নটিও ক্ষেত্রেও একই Method Follow করা হয়েছে। দৈর্ঘ্য ও প্রস্থকে প্রথমে পরিসীমার সূত্র থেকে \(x\) ও \(y\) কে এক চলকে অর্থাৎ \(y = (80 - x)\) আকারে প্রকাশ করা হয়েছে। যে কারণে \(y\) এর Value পাওয়া গেছে \((80 - x)\)।

এরপর ক্ষেত্রফলেরও \(x\) এর ফাংশন রূপ দেওয়া হয়েছে। সর্বোচ্চে একটি চলকে আনার পর ক্ষেত্রফলের ফাংশনালিটিকে \((f(x))\) একবার অন্তরীকরণ ও দ্বিতীয় অন্তরীকরণ করার পর দেখা যাচ্ছে \(f''(x)\) সরাসরি ঋণাত্মক এসেছে। অর্থাৎ, \(f'(x)\) থেকে প্রাপ্ত মান না বসিয়েই জানা গেলো, এ মানের জন্য \(f(x)\) ফাংশনটি গুরুত্ববান বিদ্যমান। অর্থাৎ \(x\) এর এ মানের জন্য আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল বৃহত্তম হবে।
সুতরাং, \(x\) এর এ মান অর্থাৎ \(40\text{m}\) হচ্ছে আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য, আর \(y = 80 - x = 80 - 40 = 40\text{m}\) হচ্ছে আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ।

মূলত আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল তখনই সর্বো??্চ হবে যখন আয়তটি একটি বর্গক্ষেত্রে পরিণত হবে। এক্ষেত্রে তাই দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয়ই \(40\text{m}\) করে হয়েছে।

By Technique:
Option (A) তে \(40 \times 40 = 1600 \, \text{m}^2\)
(B) তে \(50 \times 30 = 1500 \, \text{m}^2\)

📘 ```html

আয়তক্ষেত্রের বৃহত্তম ক্ষেত্রফল নির্ণয় 📏
ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য \(x\) এবং প্রস্থ \(y\)।
পরিসীমা \(P = 2(x + y)\)। দেওয়া আছে, \(P = 160\) মিটার। সুতরাং, \(2(x + y) = 160\), বা, \(x + y = 80\)। অতএব, \(y = 80 - x\) 🤔।
ক্ষেত্রফল \(A = x \cdot y = x(80 - x) = 80x - x^2\) 🧐।
ক্ষেত্রফলকে বৃহত্তম করতে, \(\frac{dA}{dx} = 0\) হতে হবে।
\(\frac{dA}{dx} = 80 - 2x\)
সুতরাং, \(80 - 2x = 0\), বা, \(2x = 80\), বা, \(x = 40\) 🤩।
এখন, \(\frac{d^2A}{dx^2} = -2\), যা ঋণাত্মক। সুতরাং, \(x = 40\) এর জন্য ক্ষেত্রফল বৃহত্তম হবে 😎।
অতএব, \(y = 80 - x = 80 - 40 = 40\) 😲।
সুতরাং, দৈর্ঘ্য \(40\) মিটার এবং প্রস্থ \(40\) মিটার হলে ক্ষেত্রফল বৃহত্তম হবে। অর্থাৎ, এটি একটি বর্গক্ষেত্র হবে 🎉।

```:
```html

আয়তক্ষেত্রের বৃহত্তম ক্ষেত্রফল নির্ণয় 📏
ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য \(x\) এবং প্রস্থ \(y\)।
পরিসীমা \(P = 2(x + y)\)। দেওয়া আছে, \(P = 160\) মিটার। সুতরাং, \(2(x + y) = 160\), বা, \(x + y = 80\)। অতএব, \(y = 80 - x\) 🤔।
ক্ষেত্রফল \(A = x \cdot y = x(80 - x) = 80x - x^2\) 🧐।
ক্ষেত্রফলকে বৃহত্তম করতে, \(\frac{dA}{dx} = 0\) হতে হবে।
\(\frac{dA}{dx} = 80 - 2x\)
সুতরাং, \(80 - 2x = 0\), বা, \(2x = 80\), বা, \(x = 40\) 🤩।
এখন, \(\frac{d^2A}{dx^2} = -2\), যা ঋণাত্মক। সুতরাং, \(x = 40\) এর জন্য ক্ষেত্রফল বৃহত্তম হবে 😎।
অতএব, \(y = 80 - x = 80 - 40 = 40\) 😲।
সুতরাং, দৈর্ঘ্য \(40\) মিটার এবং প্রস্থ \(40\) মিটার হলে ক্ষেত্রফল বৃ