Скачать или смотреть समांतर माध्य कल्पित विधि द्वारा Arithmetic Mean by Short cut method class 11 Chapter 05 Measures of

ARITHMETIC MEAN BY SHORT CUT METHOD

कल्पित विधि द्वारा समांतर माध्य (Assumed Mean Method) निकालने का एक संक्षिप्त और सीधा तरीका है। यह विधि तब उपयोगी होती है जब डेटा बड़ा हो, गणनाओं को आसान बनाने और समय बचाने के लिए।
कल्पित विधि का उपयोग क्यों करें?
जब डेटा में मान बड़े होते हैं, तो सीधे सूत्र का उपयोग करके गणना करना कठिन हो सकता है। कल्पित विधि (जिसे विचलन विधि भी कहते हैं) गणनाओं को सरल बनाती है। इसमें, हम डेटा के बीच में से किसी एक मान को कल्पित माध्य (a) मान लेते हैं। इस कल्पित माध्य से प्रत्येक मान के विचलन (deviation) को निकालकर गणना करते हैं।
सूत्र और प्रक्रिया
कल्पित विधि का सूत्र है:
\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}
यहां:
\bar{x} = समांतर माध्य
a = कल्पित माध्य (कोई भी एक मान)
f_i = बारंबारता (frequency)
d_i = विचलन (deviation), जो x_i - a के बराबर है
\sum f_i d_i = बारंबारता और विचलन के गुणनफल का योग
\sum f_i = बारंबारता का योग
चरण-दर-चरण प्रक्रिया
सारणी बनाएँ: सबसे पहले, एक सारणी बनाएँ जिसमें x_i (वर्ग चिह्न या मान) और f_i (बारंबारता) शामिल हों।
कल्पित माध्य (a) चुनें: x_i मानों में से किसी एक मान को कल्पित माध्य (a) के रूप में चुनें। आमतौर पर, मध्य का मान चुनना सबसे अच्छा होता है, क्योंकि इससे गणनाएं और भी सरल हो जाती हैं।
विचलन (d_i) ज्ञात करें: प्रत्येक x_i के लिए, विचलन (d_i) की गणना करें: d_i = x_i - a
f_i d_i ज्ञात करें: प्रत्येक d_i को उसकी संगत बारंबारता f_i से गुणा करें: f_i d_i
योग ज्ञात करें: f_i d_i का योग (\sum f_i d_i) और बारंबारता का योग (\sum f_i) ज्ञात करें।
सूत्र का उपयोग करें: इन मानों को सूत्र में रखकर समांतर माध्य (\bar{x}) की गणना करें।
उदाहरण
मान लीजिए हमारे पास निम्न डेटा है:
| x_i | f_i |
|---|---|
| 10 | 3 |
| 20 | 5 |
| 30 | 8 |
| 40 | 4 |
चरण 1: सारणी बनाएँ।
चरण 2: कल्पित माध्य (a) चुनें। हम a = 30 चुनते हैं।
चरण 3: विचलन (d_i = x_i - 30) ज्ञात करें:
10 - 30 = -20
20 - 30 = -10
30 - 30 = 0
40 - 30 = 10
चरण 4: f_i d_i ज्ञात करें:
3 \times (-20) = -60
5 \times (-10) = -50
8 \times 0 = 0
4 \times 10 = 40
चरण 5: योग ज्ञात करें:
\sum f_i = 3 + 5 + 8 + 4 = 20
\sum f_i d_i = (-60) + (-50) + 0 + 40 = -70
चरण 6: सूत्र का उपयोग करें:
\bar{x} = 30 + \frac{-70}{20}
\bar{x} = 30 - 3.5
\bar{x} = 26.5
इस प्रकार, इस डेटा का समांतर माध्य 26.5 है।


The shortcut method, also known as the assumed mean method, is a technique for calculating the arithmetic mean, especially useful for large datasets. It simplifies calculations by using a reference point (the assumed mean) instead of working with the raw data directly.
Shortcut Method for Ungrouped Data
This method is used when you have a list of individual data points without frequencies.
Steps:
Choose an assumed mean (A): Select a value from the data set that is roughly in the middle.
Calculate deviations (d): For each data point (x), subtract the assumed mean: d = x - A.
Sum the deviations ($\sum d$$): Add up all the deviations.
Apply the formula: Use the formula to find the mean (\bar{x}):
\bar{x} = A + \frac{\sum d}{n}
where n is the total number of observations.
Shortcut Method for Grouped Data
This method is used when data is organized into a frequency distribution table, with or without class intervals.
Steps:
Find class marks (x): For data with class intervals, calculate the midpoint of each interval: x = \frac{\text{Upper limit} + \text{Lower limit}}{2}. For discrete data, the class marks are the given values.
Choose an assumed mean (A): Select a class mark that is near the middle of the data.
Calculate deviations (d): Find the deviation of each class mark from the assumed mean: d = x - A.
Calculate the product of deviations and frequencies (fd): Multiply each deviation (d) by its corresponding frequency (f).
Sum the products ($\sum fd$$): Add all the fd values.
Sum the frequencies ($\sum f$$): Add up all the frequencies.
Apply the formula: Use the formula to find the mean (\bar{x}):
\bar{x} = A + \frac{\sum fd}{\sum f}
Benefits
The shortcut method is particularly helpful because it simplifies calculations by dealing with smaller numbers (the deviations) instead of the potentially large original data values. It is a fundamental concept in statistics often taught in high school mathematics classes.
You can learn how to find the arithmetic mean of a cumulative frequency distribution using the shortcut method from this video.

#arithmetic mean by shortcut method #youtube #economics