خواص محدد المصفوفة - determinant properties

هذا الفديو مهم جدا لمعرفة محدد بعض المصفوفات من مجرد النظر اليها وفي ما يلي ملخص لهذه الخواص
حل مثال:    • المحدد باستخدام خواص المحدد - determi...  
محدِّد المصفوفة يظلُّ هو نفسه محدِّد مدورها
المحدِّد يساوي صفرًا إذا كانت المصفوفة تحتوي على صفٍّ (أو عمود) من العناصر التي يساوي جميعها صفرًا
المحدِّد يساوي صفرًا إذا كانت المصفوفة تحتوي على صفٍّ (أو عمود) مكرَّر
العامل المشترَك في عناصر أيِّ صفٍّ (أو عمود) في المصفوفة يمكن استخراجه من محدِّدها
تبديل أيِّ صفَّين (أو عمودين) في المصفوفة يغيِّر إشارة المحدِّد
خاصية مجموع المحدِّدات، وهي التي تنصُّ على أنه عند كتابة جميع عناصر أيِّ صفٍّ أو (عمود) في صورة مجموع عنصرين، فإن قيمة المحدِّد يمكن التعبير عنها في صورة مجموع محدِّدين
خاصية الثبات التي تنصُّ على أن محدِّد المصفوفة يظلُّ كما هو بعد العمليات السطرية

محدِّد المصفوفة المثلثية العليا أو السفلى هو حاصل ضرب عناصر القطر
محدِّد المصفوفة القطرية هو حاصل ضرب عناصر القطر


Properties of Determinants of Matrices:

Determinant evaluated across any row or column is same.
If all the elements of a row (or column) are zeros, then the value of the determinant is zero.
The determinant of an Identity matrix (I_n) is 1.
If rows and columns are interchanged then the value of the determinant remains the same (value does not change). Therefore, det(A) = det(A^T), here A^T is transpose of matrix A.
If any two row (or two column) of a determinant are interchanged the value of the determinant is multiplied by -1.
If all elements of a row (or column) of a determinant are multiplied by some scalar number k, the value of the new determinant is k times of the given determinant. Therefore, If A be an n-rowed square matrix and K be any scalar. Then |KA| = K^n|A| .
If two rows (or columns) of a determinant are identical the value of the determinant is zero.
Let A and B be two matrix, then det(AB) = det(A)*det(B).
If A be a matrix then, |A^n| = (|A|)^n.
The determinant of Inverse of the matrix can be defined as |A^-^1| = \dfrac{1}{|A|}.
The determinant of diagonal matrix, triangular matrix (upper triangular or lower triangular matrix) is the product of an element of the principal diagonal.
In a determinant each element in any row (or column) consists of the sum of two terms, then the determinant can be expressed as sum of two determinants of same order. For example,