Внешние биллиарды вне правильных многоугольников (Филипп Рухович)

Семинар по алгоритмам и структурам данных ФКН

Рассмотрим многоугольник 𝚪. Из точки p на плоскости проведем касательную (т. е. опорную прямую) к 𝚪 и отразим p относительно точки касания. Такое преобразование называется преобразованием внешнего биллиарда. При последовательном применении такой операции, точка может оказаться периодической (т. е. вернуться в какой-то момент в себя), апериодической (никогда не вернуться в себя), а также вырожденной (внешний биллиард можно применить конечное число раз).
Особое место занимает случай, когда 𝚪 есть правильный n-угольник. В случаях n=3,4,6 ситуация проста (апериодических траекторий нет); также ситуация была исследована для случая n=5 и, частично, n=10 (апериодическая точка есть, но периодические точки образуют множество полной меры). Автором были получены результаты для случаев n=8,12,10.
Р. Шварц, основываясь на компьютерных экспериментах, высказал предположение, что только для случаев n=5,10,8,12, по-видимому, есть точное самоподобие, которое позволяет полностью описать периодические структуры и найти апериодические точки. Шварц проводил эксперименты для случая n=7, и самоподобие найти не удалось.
Тем не менее, более глубокий компьютерный анализ дал возможность установить, что в случаях n=7 самоподобие все-таки существует. С его помощью, легко показать существование апериодической точки. Более того, оказывается, что существует континуально большое множество различных замыканий апериодических орбит — явление, не имеющее места в ранее исследованных случаях.
В докладе пойдет речь о компьютерном доказательстве существования самоподобия и, как следствие, апериодической точки, а также о том, каковы могут быть дальнейшие шаги в изучении как случая n=7, так и других случаев. Также мы поговорим о том, какие алгоритмы могут быть использованы для доказательства фактов, связанных с внешними биллиардами.

Выступает Филипп Рухович, аспирант кафедры дискретной математики факультета инноваций и высоких технологий МФТИ, ассистент кафедры алгоритмов и технологий программирования МФТИ.

14 мая 2024

   • Понижение оценки 𝛀(log n) для упорядо...  
   • Семинар по алгоритмам и структурам да...  

Семинар по алгоритмам и структурам данных ФКН: https://cs.hse.ru/seminarfknaads

ФКН: https://cs.hse.ru​​

Подписывайтесь на нас:
📍 https://vk.com/cshse
📍 https://t.me/fcs_hse
📍 https://dzen.ru/cshse