Incovoiere –Rasucire - Incarcare distribuita sinusoidal si dupa triunghi

Описание к видео Incovoiere –Rasucire - Incarcare distribuita sinusoidal si dupa triunghi

Incovoiere –Rasucire - Incarcare distribuita sinusoidal
A--------Q1---------B----------------Q2---------------C
Arborele ABC cu AB = 3l cu AQ1= 3l/2 si Q1B = 3l/2 si BC= 2l cu BQ2= Q2C = l , in punctele A exista reazem incastrat , pe tronsonul AB actioneaza un moment de torsiune distribuit dupa un triunghi cu mt [kNm/m] = 8kNm/m in A cu sensul in sensul acelor de ceasornic si pe tronsonul BQ1 actioneaza actioneaza un moment de torsiune distribuit dupa un triunghi si cu -mt [kNm/m] = -8kNm/m [kN/m] cu sensul in sensul trigonometric , pe tronsonul BC actioneaza o forta distribuita sinusoidal cu BQ2 are sensul in jos si q = 5kN/m la distanta de B la l/2 , actioneaza si o forta distribuita axial pe toata lungimea arborelui cu sensul spre stanga qt = 3kN/m.
Sa se traseze diagramele de eforturi interioare T si Miz si sa se verifice arborele.
Se dau : sigma admisibil = 250 MPa ; l = 1m si sectiunea transversala este circulara inelara cu diametru D = 200mm si d= 160mm .
Rezolvare
Rezultanta fortelor axiale distribuite Nrez = qtx 5l = 3kN/mx5m = 15kN cu sensul spre stanga ;
Momentul de torsiune distribuit pe tronsonul AQ1B = 3l;
mtx = ax+b cu mt0 = mt =8kNm/m = a*0+b ;
b = 8kNm/m si mt3m = -mt = a*3m+8kNm/m;
-8kNm/m = a*3m+8kNm/m ; -16kNm/m = a*3m ; a = -16/3 kNm/m^2;
mtx = -16/3 kNm/m^2*x + 8kNm/m ;
mtx = -16/3 *x + 8 in forma simplificata;
MtRez = integrala dela 0 la 3m din mtx *dx;
MtRez = integrala dela 0 la 3m din -16/3 *x + 8 *dx;
MtRez = -16/3 *x^2/2 + 8 *x de la 0 la 3m ;
MtRez = -16/3 *3^2/2 + 8 *3= -24kNm +24kNm = 0 ;
MtRez = 0 ;
Forta verticala distribuita sinusoidal dupa axa OY cu originea in B;
qx = q sin pi*x/l;
Rez1 de pe tronsonul BQ2 care are sensul in jos , BQ2 = l = 1m
integrala de la 0 la 1m din qx dx = integrala de la 0 la 1m din q sin pi*x/l *dx;
Rez1 = q * integrala de la 0 la 1m din sin pi*x/l *dx;
Se face schimbarea de variabila pi*x/l = t ; dpi*x/l = dt ; pi/l dx = dt ;
dx = l/pi*dt ; t = pi*x/l ; t1 = pi*0/l = 0 ; t1 = pi*l/l = pi ;
Rez1 = q * integrala de la 0 la pi din sin t * l/pi*dt;
Rez1 = q * l/pi *integrala de la 0 la pi din sin t * dt;
Rez1 = -q * l/pi cos t de la 0 la pi = -q * l/pi tot* cospi -cos0 = 2ql/pi;
cos pi = -1 si cos 0 = 1 ;
Rez1= 2ql/pi ;
Rez totala pentru tronsonul BC = integrala de la 0 la 2m din q sin pi*x/l *dx;
Rez totala pentru tronsonul BC =-q * l/pi cos t de la 0 la 2*pi = 0 ; cos2pi = 1 si cos0 = 1 ;
Se scriu ecuatiile de echilibru:
Suma de Fx = 0 ; HA – 15kN = 0 ; HA = 15kN si are sensul spre dreapta ;
Suma de Fy = 0 ; VA-2ql/pi +2ql/pi = 0 ; VA = 0 ;
Suma de MizA = 0 ;
MizA +2ql/pi*3,5m –2ql/pi*4,5m = 0 ;
MizA = ql*1m/pi si are sensul acelor de ceasornic ;
Regiunea I , tronsonul AB , se ia originea in A si x apartine intervalului 0;3l
Nx1 = -15kN + qt *x este o dreapta , qt = 3kN/m ;
Nx1 = -15kN +3Kn/m*x ; N0 = -15kN si N3m = -15kN+9kN = - 6kN
Mtx1 = integrala din mtxdx = integrala din -16/3x+8 *dx;
Mtx1 = -16/3*x^2/2 +8x +D1 ;
Limita cand x tind la zero Mtx1 = D1 = 0 ;
Mtx1 = -8/3*x^2 +8x ; este o parabola ;
M’tx1 = -8/3*2x +8;
M’tx1 = -8/3*2x +8 = 0 ; x = 3/2 m ;
M’’tx1 = -8/3*2 mai mic decat zero este concava si punctul x = 3/2 m este punct de maxim ;
Mtmax = Mt3/2m = -8/3*1,5^2 +8* 1,5 = 6kNm ;
Mizx = MizA = 10/pi kNm;
Regiunea II , tronsonul BQ2C incarcat cu forta verticala distribuita sinusoidal qx = q sin pi*x/l, originea pentru x este in B si apartine intervalului 0;2l sau 0 ; 2m
Nx2 = -6kN +3x este o drepta ;
N0 = -6kN si N2m = -6kN+6kN = 0 ;
Mtx2 = 0 ;
Pentru fortele taietoare si momentele incovoietoare ;
Tx = - integrala din qx*dx = - integrala din q sin pi*x/l *dx;
Tx = - q*integrala din sin pi*x/l *dx;
Se face schimbarea de variabila pi*x/l = t ; dpi*x/l = dt ; pi/l dx = dt ;
dx = l/pi*dt ; t = pi*x/l ;
T = -q *integrala din sint * l/pi*dt= - ql/pi * integrala din sint *dt;
T = ql/pi cost + C2 dar t = pi*x/l ;
Tx = ql/pi cos pi*x/l + C2
Limita cand x tinde la zero , x mai mare decat zero din Tx = 0
ql/pi cos pi*0/l + C2 = 0 ; ql/pi+C2 = 0 ; C2 = - ql/pi ;
Tx = ql/pi cos pi*x/l + C2
Tx = ql/pi cos pi*x/l - ql/pi;
T0 = ql/pi cos pi*0/l - ql/pi = ql/pi - ql/pi = 0 ;
T2l = ql/pi cos 2pi*l/l - ql/pi = ql/pi -ql/pi = 0; cos2*pi = 1 ; cos0 = 1 ;
Mizx = integrala din Tx dx = integrala din ql/pi cos pi*x/l - ql/pi dx;
Mizx = ql/pi * integrala din cos pi*x/l dx - ql/pi x +D2 ;
integrala din cos pi*x/l dx ;
Se face schimbarea de variabila pi*x/l = t ; dpi*x/l = dt ; pi/l dx = dt ;
dx = l/pi*dt ; t = pi*x/l ;
integrala din cos pi*x/l dx = integrala din cos t * dt* l/pi = l/pi sint = l/pi sin pi*x/l ;

Комментарии

Информация по комментариям в разработке