SWR Geniale Mathematiker (2/3) Kurt Gödel und die Grenzen der Erkenntnis

Von Aeneas Rooch

1931 fand der junge, unbekannte Logiker Kurt Gödel etwas Bahnbrechendes heraus, das die Logik und die Mathematik für immer verändern sollte: Es gibt nicht nur "wahr" und "falsch", sondern in jedem sinnvollen logischen System existieren Aussagen, die man innerhalb dieses Systems weder beweisen noch widerlegen kann. Auf der Landkarte der Mathematik werden deshalb immer weiße Flecken bleiben. Kurt Gödel hat die Grenzen der Erkenntnis ausgelotet, unser Verständnis von Wahrheit im Fundament erschüttert, er hat die Grundlagen für die moderne Informatik geschaffen und die Mathematik in ihre größte Krise gestürzt. Er gilt als der bedeutendste Logiker des 20. Jahrhunderts, und so extrem wie seine Forschung war er auch als Person.

Kurt Gödel widerlegte somit auch den Ansatz des berühmten Mathematikers David Hilbert. Der hatte in seiner berühmten Radioansprache 1930 die These vertreten, dass alles, was wahr ist, auch beweisbar ist: "Wir müssen wissen, wir werden wissen!"



1930: David Hilberts Radioansprache

David Hilbert ist einer der wichtigsten Mathematiker der Neuzeit. Seine Bedeutung liegt weniger in einzelnen Entdeckungen oder Beweisen, sondern in seinem Grundverständnis, in der Programmatik, die er der Mathematik verpasste.

Gegen das "Ignorabimus"

Hilbert, der Mathematik in Göttingen lehrte, wollte sein Fach streng systematisieren. Er verlangte, dass selbst scheinbare mathematische Banalitäten nicht einfach hingenommen werden und sich beweisen lassen müssen, aus einfachen Axiomen, also Grundannahmen.

Und er wollte klare Kriterien, was als Beweis anzuerkennen ist und was nicht. Vor allem aber war er überzeugt, dass sich alle mathematischen Probleme so lösen lassen. Platt gesagt, alle Wahrheiten, jedenfalls alle mathematischen, lassen sich auch irgendwie beweisen.
Gödels Unvollständigkeitssatz zeigte Irrtum Hilberts

Diese Auffassung brachte er auch am 8. September 1930 in einer berühmten Radioansprache zum Ausdruck. Auch wenn sich später heraus stellten sollte, dass Hilbert daneben lag, ist dies der historisch wohl bedeutendste Radiovortrag eines deutschsprachigen Mathematikers überhaupt. Hilbert war zu diesem Zeitpunkt 68 Jahre alt.

Ein Jahr nach diesem Vortrag, im Dezember 1931, veröffentlichte Hilberts österreichischer Kollege Kurt Gödel einen Aufsatz, der zeigte, dass Hilbert sich geirrt hatte. Gödel zeigte in seinem berühmten Unvollständigkeitssatz, dass es kein vollständiges mathematisches Wissen gibt. Dass es Wahrheiten gibt, die sich schlicht nicht beweisen lassen. Damit muss sich die Mathematik bis heute abfinden.