Logistisches Wachstum || Erklärungen und GTR ★ Exponentialfunktion Übung 1

Situation: Freunde von Marc haben sich nach der Realschule gegen eine weiterfüh-rende Schule entschieden und stattdessen ein StartUp gegründet. Ihre Eltern waren davon gar nicht begeistert, weil es zum einen viel Startkapital erfordert hat und ihnen zum ande-ren die Idee überhaupt nicht zusagt. Aber die Jungs sind begeistert und hochmotiviert ge-startet.
Hier siehst du die Absatzzahlen für Q1, Q2 und Q3 (Quartale in Monaten), wobei gilt t = 0 steht für den ersten Monat. Analysiere die Absatzsituation, die auf dem ersten Blick ziemlich gut aussieht.
a) Betrachten Sie die Datenpunkte auf dem GTR.
b) Beschreiben Sie die Entwicklung des Absatzes mit bereits bekannten Wachstumsmodellen.
c) Führen Sie mit dem GTR eine „Logistische Regression“ durch und notieren Sie die allgemei-ne sowie die hier entstehende logistische Wachstumsfunktion f(t).
d) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion im GTR zu den Datenpunkten ein.
e) Bestimmen Sie die Sättigungsgrenze algebraisch. Welche Gesetzmäßigkeit lässt sich daraus ableiten?
f) Erzeugen Sie mit dem GTR die erste Ableitung f‘(t) und zeichnen Sie diese zusätzlich ein. In-terpretieren Sie den Aussagegehalt mathematisch und wirtschaftlich.
g) Berechnen Sie mit Hilfe des GTRs die Koordinaten des Wendepunkts und interpretieren Sie diesen anwendungsbezogen.
h) Welche mathematische Aussagekraft steckt hinter dem Maximum der Ableitung?
i) Wie lässt sich nach dieser Analyse die wirtschaftliche Situation inklusive Zukunftsaussicht für das StartUp einschätzen?

Kannst du noch…?
Exponentielles Wachstum
Begrenztes Wachstum
Wendepunkt

Übung:

Angenommen Sie gründen mit insgesamt 2.000 Menschen aus Deutschland einen Inselstaat. Dabei legen Sie fest, dass nie mehr als 50.000 Menschen auf der Insel leben dürfen. Nach 5 Jahren liegt die Bevölkerungszahl bei 16.835 Personen. Es wird ein logistisches Wachstum unterstellt.
a) Notieren Sie sich stichpunktartig sie wichtigsten Erkenntnisse zur obigen allgemeinen logis-tischen Wachstumsfunktion.
b) Finden Sie rechnerisch eine Funktionsgleichung, die den Sachverhalt passend beschreibt.
c) Wie viele Menschen leben nach exakt 9 Jahren auf der Insel?
d) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion in ein passendes Koordinatensystem.
e) Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem eine Trendwende in der Bevölkerungsentwicklung einsetzt. Hier gibt es zwei Lösungsmöglichkeiten. Interpretieren Sie diesen Zeitpunkt ma-thematisch und anwendungsbezogen.
f) Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit der Inselbevölkerung nach 2 Jahren?
g) Wann sinkt die Zuwachsrate an Menschen unter 1.000 pro Jahr?

Was du jetzt kannst!
 Ich verstehe, dass sich logistisches Wachstum aus exponentiellem und begrenztem Wachs-tum zusammensetzt.
 Ich kenne die allgemeine Funktionsgleichung für logistisches Wachstum.
 Ich kann folgende Überlegung nachvollziehen:
 Ich weiß, dass am Wendepunkt das exponentielle zum begrenzten Wachstum übergeht.
 Ich verstehe, dass die Sättigungsgrenze geteilt durch 2 den Funktionswert an der Stelle xW ergibt.
 Ich kann die logistische Regression mit dem GTR durchführen und das Ergebnis zu einer Funk-tionsgleichung zusammensetzen.
 Ich kann die Ausgangsfunktion und erste Ableitung mathematisch und anwendungsbezogen interpretieren.