Demonstração e prova da regra do produto (derivada)

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Resumo do vídeo

Nesse vídeo explicamos a origem "regra do produto". Por que a derivada do produto entre duas funções não é igual ao produto da derivada das funções?

Para entendermos a razão da regra do produto teremos que recorrer a definição de derivada. Após algumas básicas substituições e manipulações podemos encontrar a verdadeira regra do produto.

Dada a função f(x)= g(x) . h(x) encontraremos a sua derivada da seguinte forma.

f'(x)=lim[Δx→0] [f(x+Δx)-f(x)]/Δx Aplicaremos portanto, a própria definição da função substituindo f(x)=g(x)h(x) e, portanto, logicamente, f(x+Δx)= g(x+Δx) . h(x+Δx).
=lim[Δx→0] [g(x+Δx)h(x+Δx)-g(x)h(x)]/Δx Ainda é complcado vermos como isso pode ser a regra do produto. Então iremos somar e subtrair a segunite função [g(x+Δx)h(x)]/Δx para facilitar a nossa visualização (repare que, como se trata do mesmo termo, não alteramos a função original). Ficamos, portanto, com:
=lim[Δx→0] [g(x+Δx)h(x+Δx)-g(x)h(x)]/Δx + [g(x+Δx)h(x)]/Δx -- [g(x+Δx)h(x)]/Δx Como temos todos sobre o mesmo denominador podemos agrupá-los.
=lim[Δx→0] [g(x+Δx)h(x+Δx)-g(x)h(x) + g(x+Δx)h(x) - g(x+Δx)h(x)]/Δx Podemos agora colocar g(x+Δx) e h(x) em evidência.
=lim[Δx→0] {g(x+Δx)[h(x+Δx)-h(x)] + h(x)[g(x+Δx)-g(x)]}/Δx Agora, como o limite das somas é a soma dos limites.
=lim[Δx→0] g(x+Δx) * lim[Δx→0] [h(x+Δx)-h(x)]/Δx + lim[Δx→0] h(x) * lim[Δx→0][g(x+Δx)-g(x)]/Δx Portanto, agora, algumas observações são necessárias. Nosso primeiro limite será igual ao próprio g(x) já que Δx tende a 0. O segundo limite da esquerda para direita é, por definição a própria derivada de h(x) ou h'(x). O terceiro limite é igual ao próprio h(x) já que este não depende de Δx. E por fim, o quarto e último limite é igual a própria derivada de g(x) ou g'(x). Ficamos, assim, com:
f'(x)=g(x)h'(x)+g'(x)h(x)
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