Скачать или смотреть 【灘高2026】正三角形格子「5回後」の確率に潜む罠

#灘高 #高校入試 #数学 #確率 #正三角形 #2026年度

■ 問題

灘高 2026年度

等しい大きさの正三角形が敷き詰められた経路がある。
地点Aを出発し、サイコロを投げて出た目（1〜6）に応じて、以下の6方向へ辺を1つ分進む。

１：右
２：右上
３：左上
４：真左
５：左下
６：右下

このとき、Aを出発して4回後、および5回後に地点Bにある確率をそれぞれ求めよ。
ただし、地点BはAから見て「1の目が2回、2の目が2回」出た時にたどり着く位置にあるものとする。

■ 方針

・方向1を x、方向2を y とおき、Bの地点を (2, 2) と設定する
・正三角形格子は「3歩で1周」できるため、最短＋1歩での到達が可能
・5回移動して合計ベクトルが (2, 2) になる組み合わせをすべて書き出す

■ 途中式

【1】4回後に地点B (2, 2) にある確率

最短経路のみが該当します。
・組み合わせ：｛1, 1, 2, 2｝
・並べ方：4! / (2! 2!) ＝ 6通り

全事象は 6^4 ＝ 1296通り。
確率は、6 / 1296 ＝ 1 / 216

【2】5回後に地点B (2, 2) にある確率

合計ベクトルが (2, 2) になる5つの目の組み合わせを探します。
正三角形格子では「1の目 ＋ 3の目 ＝ 2の目」という関係（およびその回転）が成立するため、これを利用して「実質2回分」を3枚で構成するパターンが生まれます。

① ｛1, 1, 1, 2, 3｝
　1方向(1,0)×3 ＋ 2方向(0,1)×1 ＋ 3方向(-1,1)×1 ＝ (2, 2)
　並べ方：5! / 3! ＝ 20通り

② ｛1, 2, 2, 2, 6｝
　1方向(1,0)×1 ＋ 2方向(0,1)×3 ＋ 6方向(1,-1)×1 ＝ (2, 2)
　並べ方：5! / 3! ＝ 20通り

これ以外の「3枚で(1,1)を作る」または「2枚で(0,0)を作る」パターンを精査すると、この2パターン（計40通り）が該当します。

全事象は 6^5 ＝ 7776通り。
確率は、40 / 7776 ＝ 5 / 972

■ 答え

4回後： 1 / 216
5回後： 5 / 972

■ まとめ

・四角格子とは違い、正三角形格子は「3歩で1周」できるため偶奇が崩れる

・「1 ＋ 3 ＝ 2」や「2 ＋ 6 ＝ 1」といったベクトルの合成を見抜くのが鍵

・最短4歩に対して5歩で届くパターンは、灘高らしい鋭い着眼点が必要

この問題は、

「図形の対称性を利用して、計算の手間を劇的に減らす方法」

を解説する動画に最適です。

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