Sinus Funktion || Klasse 10 ★ Übung 1

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Die trigonometrischen Grundfunktionen lassen sich durch entsprechende Ergänzungen (Parameter) in der Funktionsgleichung in x- sowie y-Richtung stauchen und strecken. Auch eine Verschiebung ist möglich. Allgemein lautet der Zusammenhang:
f(x) = a ∙ sin⁡〖(b(x-c)) + d〗
Mit: a: Stauchung (0 kleiner als a kleiner als 1) und Streckung (a größer als 1) in y- Richtung
b: Stauchung (b größer als 1) und Streckung (b kleiner als 1) der Periodenlänge p= 2π/b
c: Verschiebung in positiver x-Richtung
d: Verschiebung in y-Richtung
In der obigen Notation erfolgt die Stauchung in x-Richtung vor der Verschiebung in x-Richtung, sodass die Verschiebung anhand der neuen Periodenlänge bestimmt wird.

Erstelle die Funktionsgleichung zu einer Sinusfunktion, die minimal den Funktionswert -1 und maximal +3 annimmt. Außerdem beträgt der Abstand von einem Hochpunkt zum nächsten genau 3/2 π . An der Stelle x = 0 hat die Funktion einen Tiefpunkt.

Um aus einer solchen Beschreibung die Funktionsgleichung zu bestimmen, muss man die wesentlichen Passagen herausfiltern und deren Infos auf die Allgemeinform übertragen:
Die Differenz von Höchst- zum Tiefstwert beträgt +3-(-1)=4 . Damit können wir die Parameter a (Streckung in y-Richtung, Amplitude) und d (Verschiebung in y-Richtung) aus der Allgemeinform bestimmen. Die Amplitude a einer Sinuskurve entspricht der halben Wertedifferenz, daher ist a= 4/2=2 . Wenn eine Sinusfunktion nicht symmetrisch um die x-Achse liegt (Beträge von Höchst- und Tiefstwert ungleich, |-1|≠|3| ), muss die Verschiebung in y-Richtung untersucht werden. Diese ergibt sich aus der Differenz von Höchstwert und Amplitude, also in diesem Fall d=3-2=1 .

Als Nächstes betrachten wir die Stauchung in x-Richtung. Hierzu ist aus der Aufgabenstellung bekannt, dass die Periodenlänge p= 3/2 π beträgt (Abstand zweier Hochpunkte entspricht einer Periode). Für den Parameter b gilt folglich:
b= 2π/p=2π/(3/2 π)=4/3 Nun zeichnest du eine Vorabgrafik (siehe oben).
Bei der Verschiebung in x-Richtung musst du dir genau Gedanken machen, wie die Funktion nach der Stauchung in x-Richtung aussieht. Wenn du dir klar gemacht hast, an welcher Stelle ein Tiefpunkt ist (hier bei -3/8 π ), kannst du die Verschiebung in x-Richtung bestimmen. Setze für den Parameter c=3/8 π ein. Beachte dabei, dass in der allgemeinen Form die betragsmäßige Verschiebung in positiver Richtung gesucht wird.
Somit lautet die gesamte Funktion:
f(x) = 2 ∙ sin⁡〖(4/3 (x-3/8 π)) +1〗

Trainer: „Die Parameter a und d sind nicht allzu schwer zu bestimmen. Beim Parameter b muss man lediglich die Formel richtig anwenden. Für die Verschiebung in x-Richtung, sprich Parameter c, wird dir sicherlich aufgefallen sein, dass man gute Kenntnisse über den Verlauf der Winkelfunktion haben muss und dies dann richtig anwendet.“