Скачать или смотреть 「∫」が「積分」って当たり前か？←「Σの類」って塾で習ったわ←じゃ、それが何故「微分の逆演算」になるの？って話 ねこ積分

高校数学【積分の準備1】


・0:04 高校数学(日本)積分
・1:07 ∫とΣの比較(∫の定義)
・5:45 積分で面積が求まる理由
・11:35 ∫f(x)dxが微分の逆演算で求まる原理


～～～概要～～～
∫の定義について、∫とΣを比較することにより理解を深めます。

∫f(x)dxを単純に「f(x)を積分(微分の逆演算)するための形式的な記号」としては見ないで下さい。
∫の本来の定義について段階を追って考えることにより、高校数学範囲内で、その結果が「微分の逆演算(=いわゆる積分演算)」になることを導きます。

また、「積分で面積が求まる理由」について、あるメジャーな証明パターンが存在します。それは「面積の変化を一つの関数と見て、その増加量から微分の定義の形を導出し、微分の逆演算をすることにより証明する」ものであり、「積分で面積が求まる理由」で検索して引っかかるもののほとんどがそのパターンです。

しかし、その説明では、区分求積法が微分の逆演算で計算される直接的な理由にはなりません。

なぜなら、
メジャーパターンは「∫f(x)dxは微分の逆演算(微分積分学の基本定理)である」ことを前提としているのに対し、
区分求積法は「∫f(x)dxはf(x)×dxを足し合わせる記号である」ことを前提としているからです。
つまり前者から区分求積法を理解するためには、ただ単に結論だけを結びつけるしかないのです。

そこで、今回は少し視点を変えて、まず「∫の定義」を考えることにより

①面積が求まるのは∫の定義から当然。
↓
②その計算過程が微分の逆演算なることを導く。

という順序で考察します。



～～～補足～～～
*数Ⅱ微分、数B数列を履修した後、数ⅡまたはⅢの積分に入るタイミングで視聴してください。

*説明を簡略化するために、f(x),F(x)ともに狭義単調増加の関数として扱っています。

*f(x)＜0の場合(すなわちF(x)が減少関数の場合)も理論に変わりはありません。動画を参考にどうなるか考えてみてください。

*本来「Δx」を用いて表現すべき部分も説明の都合上「dx」で統一しています。(正しくはdx=lim[Δx→+0]Δxであり、ある種の「時間的概念」が含まれますが、微分の分数表記(dy/dx)との繋がりを強調するため、あえて「dx(≒+0)」で統一しています。)

*dxがどの場面でも一定量(dx≒+0)を指すの対して、dyはdxに対してのF(x)の変化量を指します。













最後に、ねこ好きの方へ
保護猫のきゅきゅ太郎さんのお部屋へもお立ち寄りください🐱
はっぴぃーいぇーいって感じです。
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