Скачать или смотреть Az informatika logikai és algebrai alapjai 5 Halmazok Számossága

Ez a videó egy magyar nyelvű matematikai előadás a halmazok számosságáról (cardinality). Az előadó részletesen elmagyarázza a véges és végtelen halmazok méretének összehasonlítására szolgáló alapfogalmakat.

Főbb témakörök:
Véges halmazok definíciója: Egy halmazt akkor nevezünk n eleműnek, ha létezik egy bijektív leképezés (egy-egyértelmű megfeleltetés) az {1,…,n} egész számok halmaza és az adott halmaz között [00:02].

Azonos számosság: Két halmaz (A és B) számossága akkor azonos, ha létezik közöttük egy bijekció. Ezt úgy is hívják, hogy a két halmaz ekvivalens [07:17].

Ekvivalenciareláció: Az előadás bebizonyítja, hogy a számosságok azonossága egy ekvivalenciareláció, mivel reflexív, szimmetrikus és tranzitív [11:25].

Intervallumok és a valós számok:

Bármely két zárt [a,b] és [c,d] intervallum számossága megegyezik [17:28].

Bármely nyílt (a,b) intervallum számossága megegyezik a valós számok halmazának (R) számosságával. Ehhez a tangens függvényt használják példaként a leképezésre [20:41].

Számosságok összehasonlítása (∣A∣≤∣B∣): Egy halmaz számossága akkor kisebb vagy egyenlő egy másikénál, ha létezik egy injektív (kölcsönösen egyértelmű, de nem feltétlenül fedő) leképezés az elsőből a másodikba [24:14].

Végtelen számosságok típusai:

Kontinuum számosság: A valós számok és az intervallumok számossága [38:26].

Megszámlálhatóan végtelen: A természetes számok (N
0
​
), az egész számok (Z) és a racionális számok (Q) halmazának számossága [40:44]. Ezek az elemek sorozatba rendezhetők.

Cantor-tétel: Bármely halmaz számossága határozottan kisebb a hatványhalmazának (az összes részhalmazából álló halmaz) számosságánál [52:11].

Összegzés: Az előadás végén elhangzik, hogy a természetes számok számossága szigorúan kisebb, mint a valós számok (kontinuum) számossága [55:25].

A videó segít megérteni, hogy a végtelen halmazok között is léteznek különböző "méretek", és ezek precíz matematikai eszközökkel (leképezésekkel) vizsgálhatók.