Forgetful functor とFree functor

【 Forgetful functor とFree functor 】

二つのカテゴリー A, Bの間に、反対の向きを持つfunctorのペア F: A → B と G: B → Aがあって、A, Bのオブジェクト a, b について、Bの射 F(a) → b と Aの射 a → G(b) が同値である時、FをGのleft adjoint、GをFのright adjointと呼んで、F ⊣ G と表します。

今回のセッションでは、adjoint関係を満たす、二つのカテゴリー間の反対方向の向きをもつAdjoint functor F, Gの組 F ⊣ G の代表的な例を紹介しようと思います。

カテゴリー論的に興味深いのは、Free functorと呼ばれるfunctorと、Forgetful functor と呼ばれるfunctorの間の、次のようなadjoint関係です。

　　　Free functor ⊣ Forgetful functor


【 Forgetful functor 】

まずは、Forgetful functorが、どのようなfunctorかを見ておきましょう。

Forgetful functor U: A → B は、カテゴリー A に作用して、Aのオブジェクトの一部（ある場合には全部）、あるいはAの性質（それは、Aの射の性質によって定義されています）の一部（ある場合には全部）を忘れ去ったカテゴリー B に変えます。

Forgetful functorのいくつかの例を見てみましょう。

Forgetful functor U: Grp → Set を次のように定義します。ここにGrpは群のカテゴリーでSetは集合のカテゴリーです。U(G)を、群Gの要素からなる集合とします。f: G → H をGrpの群準同型写像とする時、U(f)は単なるfという名前の関数に移されます。Uは、群の構造と準同型写像を忘れさせるのです。

Ringを環のカテゴリーとします。 Forgetful functor U: Ring → Set は、環の構造をすべて忘れて、構造のない単なる集合を作ります。

Vectを体k上のベクトル空間とします。Forgetful functor U: Vect → Set は、ベクトル空間のの構造をすべて忘れて、単なる集合を作ります。

なんでも忘れてしまう Forgetful functorが、数学的に何の役に立つのかはっきりしないと思われたかもしれません。たとえば、U: Grp → Set を先に見た群のカテゴリーに作用するForgetful functor とします。Uの作用の結果は、確かにつまらないものでした。

ただ、次のような問題を考えてみましょう。

　　Uを U: Grp → Set というForgetful functor とする時、
　　F ⊣ UであるUのleft adjoint functor F は存在するか？

実は、この場合には、 F: Set → Grp で F ⊣ Uであるfunctor Fが存在します。


【 Free functor 】

Forgetful functor Uに対して、そのleft adjoint になるfunctor を、Free functor と言います。

Forgetful functor Uは、このFree functor F と組み合わせて、 𝐹 ⊣ 𝑈 の形を作ると、いろいろ面白いことが起こります。

Free functorの”Free”という名前は、 “Free group（自由生成群）”の”Free”と同じものです。

次に見るように、ある集合Sに対して F(S)が群になるように、functor F: Set → Grp を構成することは容易です。また、その構成から、F(S)が Free groupであることは、すぐにわかります。

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ショート・ムービー　「 Forgetful functor とFree functor 」を公開しました。
   • Forgetful functor とFree functor  

スライド　「 Forgetful functor とFree functor 」のpdf
https://drive.google.com/file/d/17rYf...

「カテゴリー論基礎 2 −− Adjoint」まとめ
https://www.marulabo.net/docs/categor...

「カテゴリー論基礎 2 −− Adjoin」に向けたショート・ムービー再生リスト
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