Геометрия 11 класс (Урок№8 - Сфера и шар.)

Видео на Дзен
https://zen.yandex.ru/profile/editor/...

Геометрия 11 класс
Урок№8 - Сфера и шар.

Продолжаем изучать тела вращения. На этом уроке мы познакомимся с шаром и сферой и их элементами. Какая фигура получится, если из точки, лежащей вне шара, провести всевозможные отрезки, касающиеся его поверхности? Об этом мы узнаем на этом уроке.

мы узнаем:
что такое сфера и ее элементы;
что такое шар и его элементы.
мы научимся:
строить схематично на чертеже сферу, называть и обозначать её элементы;
находить требуемые элементы сферы и шара;
находить площади поверхности сферы;
писать уравнение сферы.
мы сможем:
решать задачи на нахождение элементов сферы и шара

Сферой называется множество точек пространства, равноудаленных от заданной точки, называемой центром. Множество точек пространства, ограниченное сферой, называется шаром.

Уравнение сферы радиуса R и центром С(x0; y0; z0)
(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2 .
Возможны три разных случая взаимного расположения сферы и плоскости:
– они могут не иметь общих точек (если расстояние от центра до прямой больше радиуса);
– могут иметь одну общую точку – случай касания (если расстояние от центра до прямой равно радиусу;
– могут иметь бесконечно много общих точек – случай пересечения (если расстояние от центра до прямой меньше радиуса).
Теорема (свойство касательной плоскости): радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
Обратная теорема (признак касательной плоскости): если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.
Площадь сферы можно найти по формуле:
S = 4πR2 – площадь сферы.

Некоторые дополнительные понятия и теоремы
Касательная прямая к сфере (шару) – это прямая, которая имеет со сферой (шаром) только одну общую точку точке.
Касательная прямая перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке касания.
Расстояние от центра сферы до касательной прямой равно радиусу сферы.
Касательными сферами (шарами) называются любые две сферы (шара), которые имеют одну общую точку. Касание может быть внутренним и внешним.
Концентрическими сферами (шарами) называются любые две сферы (шара), которые имеют общий центр и радиусы различной длины.

Площади шарового сегмента и сектора
Сегмент шара – это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью.
Основанием сегмента называют круг, который образовался в месте сечения.
Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основания сегмента к поверхности сегмента.
S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h. Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.