Скачать или смотреть Геодезическая задача на плоскости | Вариационное исчисление

В этом коротком (хе-хе) видео я ставлю и решаю геодезическую задачу на плоскости. Геодезическая — это специальная кривая, представляющая кратчайшее расстояние между двумя точками на определённой поверхности. Здесь, поскольку геодезическая задача решается на плоскости, я показываю, что геодезическая на плоскости — это прямая линия. Для этого я устанавливаю функционал длины, а затем, используя уравнение Эйлера-Лагранжа, решаю уравнение геодезической линии. Вычисления здесь не такие уж сложные, но я сказал, что расскажу о геодезических, когда начинал эту серию, поэтому решил сделать это для полноты картины.

Я не упомянул об этом в видео, потому что подумал, что это немного не относится к теме, но геодезические становятся довольно важными в общей теории относительности. Общая теория относительности, по сути, имеет два важных (набора) уравнений. Первая группа — это уравнения поля Эйнштейна, которые описывают, как пространство-время (которое можно представить как четырёхмерную поверхность) искривляется под действием массы и энергии. Вторая группа — это уравнения геодезических, которые описывают, как свет и материя движутся в этом «искривлённом» пространстве-времени. Другими словами, свет движется по геодезическим линиям в пространстве-времени (именно поэтому свет «искривляется» под действием гравитации).

Уравнение геодезических в общей теории относительности на самом деле можно вывести с помощью уравнения Эйлера-Лагранжа. В этом случае dS — это не просто sqrt(dx^2 + dy^2), а гораздо более сложная функция, включающая метрический тензор. Я расскажу об этом подробнее, когда начну изучать общую теорию относительности, но решил кратко обсудить применение для интересующихся.

ИСПРАВЛЕНИЕ: В 3:29 я хотел написать y' вместо y.

Предварительные требования: Первые два видео из этого плейлиста:    • Calculus of Variations  
Видео Эйлера-Лагранжа:    • Derivation of the Euler-Lagrange Equation ...  
Конспект лекций: https://drive.google.com/open?id=1bji...
Patreon: https://www.patreon.com/user?u=4354534
Twitter:   / facultyofkhan  

Особая благодарность моим покровителям:
Тому
Дженнифер Хельфман
Джастину Хиллу
Джейкобу Соаресу
Йеньо Палу
Чи
Лизе Бушар