Скачать или смотреть Class 14 | Group Theory | coset | definition of coset | Theorem of coset | bsc maths

Theorem 1: If H is a subgroup of G and h ∈ H, then Hh = H = hH
Description: यह थियोरम बताती है कि यदि H कोई subgroup है और h उसका कोई भी element है, तो h से बने left coset और right coset दोनों ही H के बराबर होते हैं। subgroup अपने ही elements से multiply करने पर बदलता नहीं है। यानी Hh और hH दोनों H के ही equal होते हैं।


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Theorem 2: If a and b are any two elements of G, then Ha = Hb ⇔ a⁻¹b ∈ H
Description: यह थियोरम बताती है कि दो right cosets Ha और Hb बराबर कब होंगे। दो right cosets equal होंगे तभी और केवल तभी, जब a⁻¹b subgroup H में मौजूद हो। यानी a और b के बीच का “difference element” अगर H में है, तो दोनों cosets identical हैं।


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Theorem 3: Any two right (or left) cosets of a subgroup are either disjoint or identical
Description: यह थियोरम कहती है कि subgroup H के किसी भी दो cosets या तो पूरी तरह अलग-अलग (disjoint) होते हैं या बिल्कुल एक जैसे (identical)। अगर दो cosets में एक भी element common है, तो दोनों पूरे cosets equal हो जाते हैं।


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