Examen National 2021 SM - Etude de Fonction - Logarithme Népérien - Suites Implicites

Dans cette vidéo je vais corriger avec vous la partie 1 de l'exercice "d'étude de fonctions ", qui est l'extrait de l'examen national 2021 SM session rattrapage, dans lequel on va étudier les variations, les branches infinies et la convexité d'une fonction avec logarithme népérien, et on finira par tracer sa courbe. Dans une prochaine vidéo je vais traiter avec vous la 2ème partie, dans laquelle on va étudier une suite implicite à l'aide de la fonction f.

N'oubliez pas qu'il est important d'essayer de travailler l'exercice avant de voir la correction.
▬▬▬▬▬▬▬ Exercice ▬▬▬▬▬▬▬

Vous pouvez télécharger l’exercice à partir d'ici : https://cutt.ly/5UAUQwZ
National 2021 complet : https://cutt.ly/EUGX3fS

Exercice1: (Examen National 2021 SM Rattrapage) (8pts)
Partie I : I=├]-∞,1┤[ ; f(x)=ln⁡( 1-x)
e) Donner le tableau de variations de f
b) Représenter graphiquement la courbe (C) dans le repère (O,i ⃗,j ⃗ )

Partie II : Pour tout réel x et pour tout entier naturel n≥2 ,on pose∶
P_n (x)=x+x^2/2+⋯+x^n/n
1) Montrer que pour tout entier n≥2 ,il existe un unique réel x_n∈├]0,1┤[
tel que∶ P_n (x_n )=1 (0,5pts)
2) Déterminer le réel α=x_2 et vérifier que∶ 0≤α≤1 (0,5pts)
3)a) Montrer que pour tout entier n≥2 ,on a∶ P_(n+1) (x_n )≥1 (0,5pts)
b) En déduire que la suite (x_n )_(n≥2) ainsi définie est strictement décroissante.(0,5pts)
c) Montrer que pour tout entier n≥2 ,on a∶ x_n∈├]0,α] (0,25pts)
d) Montrer que la suite (x_n )_(n≥2) est convergente (0,25pts)
4) Pour tout réel x∈I et pour tout entier n≥2 ,on pose∶
f_n (x)=f(x)+P_n (x)
a) Montrer que∶(∀x∈I) (∀n≥2) f_n^' (x)=〖-x〗^n/(1-x) (0,5pts)
b) Montrer que∶(∀x∈[0,α]) (∀n≥2) |f_n^' (x)|≤α^n/(1-α) (0,25pts)
c) En déduire que∶(∀x∈[0,α]) (∀n≥2) |f_n (x)|≤α^n/(1-α) (0,5pts)
d) Montrer que∶(∀n≥2) |f(x_n )+1|≤α^n/(1-α) (0,5pts)
e) En déduire la valeur de (lim)┬(n→+∞)⁡〖x_n 〗 (0,5pts)



00:54 Énoncée de l'exercice
02:07 Question 1)a)
04:40 Question 1)b)
06:16 Question 1)c)
12:06 Question 1)d)
12:46 Question 1)e)
13:38 Question 2)a)
15:40 Question 2)b)
18:16 Question 3)a)
19:05 Question 3)b)

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▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬Branches concernées▬▬▬▬▬▬▬▬

bac
2 bac
2 bac sm
bac sciences
bac biof
bac sciences math
Sciences Mathématiques
terminal
examen national

▬▬▬▬▬▬▬▬▬ Récapitulatif de la vidéo▬▬▬▬▬▬▬▬▬

• Nous allons étudier une fonction avec logarithme népérien : variations, branches infinies et tracage de courbe.

• Nous allons étudier une suite implicite.

• Application du théorème des accroissements finis .

👉 Et vous pouvez consulter les autres vidéos de cette playlist, pour voir d'autres exercices sur les fonctions logarithmes népériens et les suites numériques avec leurs applications.

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▬▬▬▬▬▬▬▬ MOTS-CLÉS ▬▬▬▬▬▬▬▬

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