Kugel: Volumen und Oberfläche (Mathe-Song)

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Ein Rap über das Volumen und den Oberflächeninhalt einer Kugel, mit dem sich vielleicht manch einer die Formeln besser merken kann.

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Songtext:


Ich hab die Formel fürs Volumen einer Kugel dabei:
Vier Drittel Pi mal r hoch drei
Für den Oberflächeninhalt hab ich auch was parat
4 Pi mal r Quadrat.


Wir schneiden mal ne Halbkugel in einer bestimmten Höhe auf
und da kommt dann natürlich ein Kreis heraus.
und dessen Radius nennen wir mal a
und mit dem Radius der Kugel und der Höhe h
ist das ein rechtwinkliges Dreieck und es gilt nach Pythagoras
a Quadrat ist r Quadrat minus h Quadrat. So ein Spaß :D
und das merken wir uns mal, denn wir brauchen das bald,
denn Pi mal a Quadrat ist doch der Flächeininhalt

von dem Kreis und jetzt setzen wir die Formel dort ein,
multiplizieren aus und jetzt leuchtet es doch ein,
dass wir hier jeweils Pi mal irgendetwas ins Quadrat haben.
also könnte man auch grad sagen,
das wären zwei Kreise und man nimmt den einen weg
da kommt ein Kreisring raus, also haben wir entdeckt,
da das in jeder Ebene geht, dass dann ein Körper entsteht
und der sieht aus wie ein Zylinder, wo ein Kreiskegel fehlt.

Mit diesem Ding, was wir uns grade konstruiert haben,
machen wir wir jetzt weiter und da würde ich mal sagen:
Das Volumen vom Zylinder ist Grundfläche mal Höhe
und vom Kegel ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe.
Die Grundfläche ist beides mal ein Kreis - Pi mal r Quadrat
und die Höhe immer r. Da merk ich grad:
Pi mal r Quadrat mal r ist Pi mal r hoch drei.
minus ein Drittel davon da sind wir bei

zwei Drittel Pi mal r hoch drei. OK.
Doch da die Schnittfläche in jeder Ebene gleich ist, seh
ich nach dem Prinzip von Cavalieri: Die Volumina sind gleich.
Aha. Doch da ich ja das eine bereits weiß,
hat die Halbkugel demnach den gleichen Rauminhalt
zwei Drittel Pi mal r hoch drei und jetzt schau ich halt
mal auf die ganze Kugel, was ja Doppelte ist,
also vier Drittel Pi mal r hoch drei. YES!


Ich hab die Formel fürs Volumen einer Kugel dabei:
Vier Drittel Pi mal r hoch drei
Für den Oberflächeninhalt hab ich auch was parat
4 Pi mal r Quadrat.


Stell dir die Kugel mal als unendlich viele
infinitesimale Pyramiden vor,
die Spitzen in der Mitte, die Grundflächen außen,
und da das Pyramiden sind, weißt du sofort:
Das Volumen ist ein Drittel mal die Grundfläche mal r,
denn der Kugelradius ist hier die Höhe und daher
gilt das in jeder Pyramide und es wird insgesamt
da die Grundflächen die Kugeloberfläche sind, interessant,

denn da kommt was für die ganze Kugel her:
Das Volumen ist ein Drittel mal Oberfläche mal r,
doch es ist ja auch vier Drittel Pi mal r hoch drei. klar.
Also steht die Gleichung mit nur einer Unbekannten da.
Das stelln wir um, indem wir erst mit 3 multiplizieren
und schon sehen wir, wenn wir noch kurz mit r dividieren:
4 Pi mal r Quadrat ist der Oberflächeninhalt,
lange Rede, kurzer Sinn: Die Formel stimmt halt.


Ich hab die Formel fürs Volumen einer Kugel dabei:
Vier Drittel Pi mal r hoch drei
und für den Oberflächeninhalt hab ich auch was parat
4 Pi mal r Quadrat.



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