Ecuaciones de la recta: Conocidos un punto y su vector director

En este vídeo estudiamos cómo hallar las ecuaciones de la recta si nos dan dos puntos de la recta o un punto de la recta y su vector director.

En el espacio tridimensional, una recta se puede representar mediante diferentes ecuaciones matemáticas, cada una con sus propias características y aplicaciones. Las más comunes son:

Ecuación vectorial:

Esta   ecuación   describe  la  recta   a   partir  de   un   punto   P(x₀, y₀, z₀)   que    pertenece   a   la   recta  y    un    vector   director
v=(v_x,v_y,v_z)  paralelo a la dirección de la recta. Se escribe de la forma:  (x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + t*(v_x,v_y,v_z)

donde t es un parámetro escalar que determina la posición de cualquier punto del plano con respecto al punto P₀ y al vector director.

Ecuaciones paramétricas:

Estas ecuaciones expresan las coordenadas (x, y, z) de cualquier punto de la recta en función de un parámetro escalar k. Se escriben de la forma:

x = x₀ + kv_x

y = y₀ + kv_y

z = z₀ + kv_z

donde v=(v_x, v_y y v_z) es el vector director de la recta.

Ecuación continua:

Esta ecuación es similar a la ecuación vectorial, pero en lugar de usar un vector director, utiliza la dirección de la recta expresada por su vector director v=(v_x, v_y, v_z). Se escribe de la forma: (x - x₀) / v_x = (y - y₀) / v_y = (z - z₀) / v_z

Recta como intersección de dos planos:

Una recta en el espacio tridimensional puede entenderse como la intersección de dos planos. Las ecuaciones de estos planos se pueden escribir de la forma:

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

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