Скачать или смотреть Экспоненциальные модели с дифференциальными уравнениями, рост населения, примеры – Исчисление

Экспоненциальные модели описывают величины, изменяющиеся со скоростью, пропорциональной их текущему значению, что описывается дифференциальным уравнением dy/dt = ky. Решение этого уравнения: y(t) = y(0)e^(kt), где y(t) — величина в момент времени t, y(0) — начальное значение, k — коэффициент пропорциональности, а e — основание натурального логарифма. Если k положительно, модель представляет экспоненциальный рост; если k отрицательно, модель представляет экспоненциальный спад.

💡Как это работает
• Дифференциальное уравнение: Основная идея заключается в том, что скорость изменения величины (dy/dt) прямо пропорциональна самой величине (y), где k — коэффициент пропорциональности.
• Решение (экспоненциальная модель): Решая это разделяющееся дифференциальное уравнение, мы приходим к формуле экспоненциального роста или распада:
⚬ y(t) = y(0)e^(kt)
⚬ y(t): Количество вещества в момент времени t.
⚬ y(0): Начальное количество вещества в момент времени t = 0.
⚬ k: Константа роста или распада.
⚬ e: Основание натурального логарифма, приблизительно равное 2,71828.

💡Применение
Это соотношение широко применяется в различных областях:
• Рост населения: Скорость роста населения часто пропорциональна его текущей численности.
• Радиоактивный распад: Скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна количеству оставшегося вещества.
• Финансы: Непрерывно начисляемые сложные проценты следуют экспоненциальной модели, где рост денежной массы пропорционален её текущей сумме.

• Медицина: Выведение лекарства из кровотока часто можно смоделировать с помощью экспоненциального спада.

💡Интерпретация константы «k»
• Положительное значение «k»: Указывает на экспоненциальный рост, когда количество увеличивается с ускорением.

• Отрицательное значение «k»: Указывает на экспоненциальный спад, когда количество уменьшается со скоростью, пропорциональной его текущему значению.

💡Рабочие листы предоставлены в формате PDF для дальнейшего улучшения вашего понимания:
• Рабочий лист с вопросами: https://drive.google.com/file/d/1DMK4...
• Ответы: https://drive.google.com/file/d/1Qpzj...

💡Главы:
00:00 Экспоненциальные модели, рост и спад
01:40 Практические примеры

🔔Не забудьте поставить лайк, поделиться и подписаться, чтобы получить больше простых обучающих материалов по исчислению.

🔔Подпишитесь:    / @drofeng  
_______________________
⏩Ссылка на плейлист:    • Calculus Full Course Playlist (Calc 1 & 2,...  
_______________________
💥 Подписывайтесь на нас в социальных сетях 💥
🎵TikTok: https://www.tiktok.com/@drofeng?lang=en
𝕏: https://x.com/DrOfEng
🥊: https://rumble.com/user/drofeng