Скачать или смотреть Интеграция, Дополнение квадрата, Примеры, Рабочий лист, Практические задачи – Математический анализ

Интегрирование путём дополнения квадрата — это метод вычисления интегралов с квадратными выражениями в знаменателе, особенно когда квадратное выражение неприводимо (не может быть разложено на действительные линейные множители). Процесс включает в себя переписывание квадратного выражения \(ax^{2}+bx+c\) в форму \(a(x+k_{1})^{2}+k_{2}\), которая затем преобразуется с помощью u-подстановки в стандартную интегральную форму, обычно включающую функции арктангенса (\(\arctan \)) или арксинуса (\(\arcsin \)).

💡Шаги для дополнения квадрата
• Убедитесь, что коэффициент x² равен единице: если коэффициент при \(x^{2}\) (назовём его \(a\)) не равен 1, вынесите его за скобки.

∘ Например, \(2x^{2}-4x+11\) превращается в \(2(x^{2}-2x+\frac{11}{2})\).
• Возьмём квадрат оставшегося квадратного уравнения: возьмём коэффициент при \(x\) (назовём его \(b^{\prime }\)), разделим на 2 и возведём результат в квадрат. Сложим и вычтем это значение в скобках.
∘ Например, в \(x^{2}-2x+\frac{11}{2}\) коэффициент \(x\) равен -2.
∘ Половина от -2 равна -1, и возведение в квадрат даёт 1.
∘ Выражение принимает вид \(2(x^{2}-2x+1+\frac{11}{2}-1)\).
• Разложите на множители полный квадратный трёхчлен: первые три члена в скобках образуют полный квадратный трёхчлен, \((x+b^{\prime }/2)^{2}\). 
∘ \(2((x-1)^{2}+\frac{9}{2})\).
• Упростите свободный член: объедините оставшиеся свободные члены.
∘ \(2((x-1)^{2}+\frac{9}{2})=2(x-1)^{2}+9\).

💡Применение к интегралам
• Перепишите знаменатель: подставьте полный квадратный член в интеграл. 
∘ Например, \(\int \frac{1}{2x^{2}-4x+11}dx\) превращается в \(\int \frac{1}{2(x-1)^{2}+9}dx\).
• Используйте подстановку: пусть \(u\) — член в скобках. В примере \(u=x-1\), поэтому \(du=dx\).
∘ Интеграл принимает вид \(\int \frac{1}{2u^{2}+9}du\).
• Выполните преобразование для соответствия стандартным формам: вынесите константы за скобки и перепишите выражение так, чтобы оно соответствовало известному интегралу, часто используя форму \(\frac{1}{a^{2}+u^{2}}\).
∘ \(\int \frac{1}{2u^{2}+9}du=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u^{2}+(3/\sqrt{2})^{2}}du\).
• Интегрирование: примените соответствующую формулу для интеграла.
∘ Интеграл \(\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{1}{a}\arctan (\frac{x}{a})+C\). 
∘ Окончательный результат можно преобразовать обратно в исходную переменную. 

💡Когда использовать этот метод
• Неприводимые квадратные уравнения: Этот метод необходим для интегралов с квадратными знаменателями, которые не разлагаются на действительные линейные множители.
• Нестандартные формы: Он полезен для подынтегральных выражений, которые напоминают натуральные логарифмы или обратные тригонометрические функции, но «неверны» из-за квадратного выражения.
• Стандартные формы: Дополнение квадрата преобразует общее квадратное уравнение в форму, которую можно решить с помощью известных методов интегрирования, например, тех, что можно найти в таблицах интегралов.

💡Рабочие листы предоставлены в формате PDF для дальнейшего улучшения вашего понимания:
• Рабочий лист с вопросами: https://drive.google.com/file/d/1nyZA...
• Ответы: https://drive.google.com/file/d/16wbb...

💡Главы:
00:00 Дополнение квадрата
00:40 Решенный пример

🔔Не забудьте поставить лайк, поделиться и подписаться, чтобы получить больше простых обучающих материалов по исчислению.

🔔Подпишитесь:    / @drofeng  
_______________________
⏩Ссылка на плейлист:    • Calculus Full Course Playlist (Calc 1 & 2,...  
_______________________
💥 Подписывайтесь на нас в социальных сетях 💥
🎵TikTok: https://www.tiktok.com/@drofeng?lang=en
𝕏: https://x.com/DrOfEng
🥊: https://rumble.com/user/drofeng