ТФКП. ОСОБЫЕ ТОЧКИ. Часть 1. Определение характера конечной особой точки

#laurent #вычеты #residues #демидович #коши #чудесенко #тфкп #интеграл #ряды #Лоран #тейлор #Taylor #Integral #Integrals #Cauchy #Riemann #Integration #Complex #Series #Zeros #Singularities #Trigonometric #Hyperbolic #Functions #Logarithms #Powers #Analytic #Limits #Equations

Сводная таблица с формулами вычетов и классификацией особых точек здесь:

https://drive.google.com/file/d/1yDYr...

ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В названии темы следует отметить, что, в частности, точки ветвления многозначных функций рассматриваться не будут. Изолированные особые точки аналитических функций делятся на три типа в зависимости от существования и характера предела в них, либо по виду ряда Лорана функции в окрестности этой точки (такое разложение всегда возможно, так как ввиду изолированности особой точки у нее, по определению, существует проколотая окрестность аналитичности).


Устранимая особая точка:
- Предел конечный
- Ряд Лорана имеет только правильную часть

Существенно особая точка:
- Нет предела, ни конечного, ни бесконечного- Главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов
Полюс
- Существует бесконечный предел
- В главной части ряда Лорана конечное число членов
Замечание:1. Данная классификация применима как к конечным точкам комплексной плоскости, так и к точке z=∞. Напомним только, что в случае разложения функции в ряд Лорана в окрестности конечной точки главной частью называется совокупность членов ряда с отрицательными степенями величины z – z0, а правильной – с неотрицательными. В случае же бесконечно удаленной точки главная часть – это члены с положительными степенями z, а правильная – с неположительными.