विभाज्यता के नियम | Rules of divisibility in hindi|Test of divisibility in one shot |By Jitendra sir

विभाज्यता के नियम | Rules of divisibility in hindi|Test of divisibility in one shot |By Jitendra sir



1 का विभाज्यता नियम
हर संख्या 1 से विभाज्य होती है। 1 के लिए विभाज्यता नियम में कोई शर्त नहीं है। किसी भी संख्या को 1 से विभाजित करने पर वह संख्या ही प्राप्त होगी, चाहे वह कितनी भी बड़ी क्यों न हो। उदाहरण के लिए, 3 1 से विभाज्य है और 3000 भी 1 से पूरी तरह विभाज्य है।

2 का विभाज्यता नियम
यदि कोई संख्या सम है या जिसका अंतिम अंक सम है, जैसे 2,4,6,8 जिसमें 0 भी शामिल है, तो वह संख्या सदैव 2 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

उदाहरण: 508 एक सम संख्या है और 2 से विभाज्य है लेकिन 509 एक सम संख्या नहीं है, इसलिए यह 2 से विभाज्य नहीं है। यह जाँचने की प्रक्रिया कि 508 2 से विभाज्य है या नहीं, इस प्रकार है:

संख्या 508 पर विचार करें
बस अंतिम अंक 8 लें और उसे 2 से विभाजित करें
यदि अंतिम अंक 8, 2 से विभाज्य है तो संख्या 508 भी 2 से विभाज्य होगी।

3 के विभाज्यता नियम
3 के लिए विभाज्यता नियम यह बताता है कि एक संख्या 3 से पूर्णतः विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

एक संख्या 308 पर विचार करें। यह जाँचने के लिए कि 308 3 से विभाज्य है या नहीं, अंकों का योग लें (अर्थात 3+0+8= 11)। अब जाँचें कि योग 3 से विभाज्य है या नहीं। यदि योग 3 का गुणक है, तो मूल संख्या भी 3 से विभाज्य होगी। यहाँ, चूँकि 11 3 से विभाज्य नहीं है, इसलिए 308 भी 3 से विभाज्य नहीं है।

इसी प्रकार, 516 3 से पूर्णतः विभाज्य है क्योंकि इसके अंकों का योग अर्थात् 5+1+6=12, 3 का गुणज है।

4 का विभाज्यता नियम
यदि किसी संख्या के अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य हैं, तो वह संख्या 4 का गुणज होगी तथा 4 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

उदाहरण: संख्या 2308 लीजिए। अंतिम दो अंक यानी 08 लीजिए। चूंकि 08, 4 से विभाज्य है, इसलिए मूल संख्या 2308 भी 4 से विभाज्य है।

5 का विभाज्यता नियम
जिन संख्याओं के अंत में 0 या 5 अंक आते हैं वे हमेशा 5 से विभाज्य होती हैं।
उदाहरण: 10, 10000, 10000005, 595, 396524850, आदि।

6 का विभाज्यता नियम
जो संख्याएँ 2 और 3 दोनों से विभाज्य हैं, वे 6 से भी विभाज्य हैं। अर्थात्, यदि दी गई संख्या का अंतिम अंक सम है और उसके अंकों का योग 3 का गुणज है, तो दी गई संख्या भी 6 का गुणज होगी।

उदाहरण: 630, संख्या 2 से विभाज्य है क्योंकि अंतिम अंक 0 है।
अंकों का योग 6+3+0 = 9 है, जो 3 से भी विभाज्य है।
इसलिए, 630, 6 से विभाज्य है।


7 के विभाज्यता नियम: जिस संख्या के इकाई अंक के दुगुना और शेष बची अंको से बनी संख्या का अंतर 7 से विभाज्य हो, तो वह संख्या भी 7 से विभाज्य होती है।

जैसे-371-37-1×2=35;

371 सात से विभाज्य है।

812-81-2×2=77;

812 सात से विभाज्य है।

934-93-4×2=85;

934 सात से विभाज्य




8 का विभाज्यता नियम
यदि किसी संख्या के अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य हैं, तो वह संख्या 8 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

उदाहरण: संख्या 24344 लीजिए। अंतिम दो अंक यानी 344 लीजिए। चूंकि 344, 8 से विभाज्य है, इसलिए मूल संख्या 24344 भी 8 से विभाज्य है।

9 का विभाज्यता नियम
9 से विभाज्यता का नियम 3 के विभाज्यता नियम के समान है। अर्थात्, यदि संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 9 से विभाज्य होगी।

उदाहरण: 78532 पर विचार करें, क्योंकि इसके अंकों (7+8+5+3+2) का योग 25 है, जो 9 से विभाज्य नहीं है, इसलिए 78532 9 से विभाज्य नहीं है।

10 का विभाज्यता नियम
10 के लिए विभाज्यता नियम यह बताता है कि कोई भी संख्या जिसका अंतिम अंक 0 है, 10 से विभाज्य होगी।

उदाहरण: 10, 20, 30, 1000, 5000, 60000, आदि।

11 के विभाज्यता नियम
यदि किसी संख्या के वैकल्पिक अंकों के योग का अंतर 11 से विभाज्य है, तो वह संख्या 11 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

अर्थात, विषम स्थानों के अंकों का योग – सम स्थानों के अंकों का योग = 0 या 11 का गुणज

यह जाँचने के लिए कि 2143 जैसी संख्या 11 से विभाज्य है या नहीं, नीचे निम्नलिखित प्रक्रिया दी गई है।

वैकल्पिक अंकों को समूहबद्ध करें अर्थात विषम स्थानों पर स्थित अंकों को एक साथ तथा सम स्थानों पर स्थित अंकों को एक साथ। यहाँ 24 और 13 दो समूह हैं।
प्रत्येक समूह के अंकों का योग लें अर्थात 2+4=6 और 1+3=4
अब योगों का अंतर ज्ञात करें; 6-4=2
यदि अंतर 11 से विभाज्य है, तो मूल संख्या भी 11 से विभाज्य होगी। यहाँ 2 वह अंतर है जो 11 से विभाज्य नहीं है।
अतः 2143, 11 से विभाज्य नहीं है।
किसी संख्या की 11 से विभाज्यता की जांच करने के लिए कुछ और शर्तें हैं। उन्हें उदाहरणों की मदद से यहां समझाया गया है:

यदि किसी संख्या के अंकों की संख्या सम है, तो पहले अंक को जोड़ें और शेष संख्या से अंतिम अंक घटाएँ।

उदाहरण: 3784

अंकों की संख्या = 4

अब, 78 + 3 – 4 = 77 = 7 × 11

इस प्रकार, 3784, 11 से विभाज्य है।

यदि किसी संख्या के अंकों की संख्या विषम है, तो शेष संख्या से पहले और अंतिम अंक घटाएँ।

उदाहरण: 82907

अंकों की संख्या = 5

अब, 290 – 8 – 7 = 275 × 11

इस प्रकार, 82907, 11 से विभाज्य है।

संख्या के दाएं छोर से बाएं छोर तक दो अंकों के समूह बनाएं और परिणामी समूहों को जोड़ें। यदि योग 11 का गुणक है, तो संख्या 11 से विभाज्य है।

उदाहरण: 3774 := 37 + 74 = 111 := 1 + 11 = 12

3774, 11 से विभाज्य नहीं है।

253 := 2 + 53 = 55 = 5 × 11

253, 11 से विभाज्य है।

संख्या के अंतिम अंक को शेष संख्या से घटाएँ। यदि परिणामी मान 11 का गुणज है, तो मूल संख्या 11 से विभाज्य होगी।

उदाहरण: 9647

9647 := 964 – 7 = 957

957 := 95 – 7 = 88 = 8 × 11

इस प्रकार, 9647, 11 से विभाज्य है।





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