Irrfahrten auf den ganzen Zahlen: Hauptlemma

Eine ideale Münze (Zahl/Wappen) wird wiederholt in unabhängiger Folge geworfen. Man startet im Nullpunkt des Zahlenstrahls und geht bei Auftreten von Zahl einen Schritt nach rechts, bei Wappen einen Schritt nach links. Auf diese Weise entsteht eine symmetrische Irrfahrt auf den ganzen Zahlen. Trägt man in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf der horizontalen Achse die Anzahl der Schritte einer solchen Irrfahrt und auf der vertikalen Achse die jeweilige Position der Irrfahrt auf den ganzen Zahlen auf, so kann man sich den Verlauf einer Irrfahrt als einen "Weg" genannten Polygonzug veranschaulichen. Die Länge eines solchen Weges sei die Anzahl der Schritte, die die Irrfahrt vollzogen hat. Das Hauptlemma besagt, dass für jede natürliche Zahl n die Anzahl aller Wege der Länge 2n, die während des gesamten Verlaufs nie zu 0 zurückkehren (sog. nullstellenfreien Wege) , gleich der Anzahl der Wege gleicher Länge ist, die nie die horizontale Achse unterschreiten (sog. nicht negativen Wege). Letztere Anzahl ist ferner die Anzahl aller Wege der Länge 2n, die am Ende auf der horizontalen Achse ankommen, also zum Nullpunkt zurückgekehrt sind (sog. Brückenwege), und diese Anzahl ist gleich dem Binomialkoeffizienten 2n über n. Der Beweis des Hauptlemmas erfolgt mithilfe geeigneter Abbildungen von Wegen.

DOI:10.5445/IR/1000118604
https://doi.org/10.5445/IR/1000118604