Prof. Marek Abramowicz: Matematyczna teoria nieskończoności Georga Cantora

Georg Cantor – jeden z najwybitniejszych matematyków w dziejach, urodzony w 1845 roku w Petersburgu w duńsko-żydowskiej rodzinie kupieckiej – samodzielnie stworzył teorię mnogości, czyli naukę o zbiorach, która jest obecnie podstawą matematyki. Cantor zdefiniował „moc zbioru” jako liczbę odpowiadającą liczebności jego elementów. Moc zbioru nieskończonego wyraża się liczbą pozaskończoną. Są mniejsze i większe liczby pozaskończone, czyli większe i mniejsze nieskończoności. Najmniejszą nieskończonością jest nieskończoność odpowiadająca mocy zbioru liczb naturalnych {1, 2, 3,…}. Nie ma nieskończoności największej.

Cantor udowodnił, że liczb parzystych, liczb pierwszych oraz ułamków jest tyle samo co liczb naturalnych! Natomiast liczb rzeczywistych jest więcej niż liczb naturalnych, ale tyle samo co punktów na odcinku Matematyczna teoria nieskończoności Georga Cantora lub punktów we wnętrzu sześcianu. Liczby pozaskończone, czyli nieskończoności, można dodawać, mnożyć i podnosić do potęgi – te operacje tworzą pozaskończoną arytmetykę. Reguły pozaskończonej arytmetyki Cantora są nieintuicyjne, ale łatwe do formalnego opanowania.

Do końca życia Cantor nie potrafił udowodnić sformułowanej przez siebie hipotezy continuum, która głosi, iż nie istnieje zbiór o mocy większej niż moc zbioru liczb naturalnych, lecz mniejszej niż moc zbioru liczb rzeczywistych. Dopiero pod koniec ubiegłego wieku okazało się, że hipoteza continuum jest nierozstrzygalna – co stanowi niebanalny przykład na zastosowanie idei Kurta Gödla o nierozstrzygalności systemów matematycznych.

Wykład odbył się 10 października 2018 roku w ramach cyklu "Drogi do nieskończoności" w Centrum Nauki Kopernik.

Pozostałe wykłady:
   • Drogi do nieskończoności  

Zobacz stronę wydarzenia:
http://www.kopernik.org.pl/projekty-s...