MATEMATICA - La matematica nel mondo contemporaneo - Accademia dei Lincei e SNS - 18 gennaio 2019

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II Incontro del corso "La matematica nel mondo contemporaneo" Modulo I "Qualche riflessione su Caos, Determinismo, Complessità e Probabilità"

Angelo Vulpiani – Università di Roma “La Sapienza”
Qualche riflessione su Caos, Determinismo, Complessità e Probabilità


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Coordinatori del corso

Francesco Pegoraro, Università di Pisa
Fulvio Ricci, Scuola Normale Superiore
Destinatari
Docenti di scuola secondaria di secondo grado

Finalità, obiettivi e metodologia di lavoro
Il corso si compone di tre moduli: 1. Complessità e Probabilità (tre incontri); 2. Matrici, grafi, catene di Markov: nuove applicazioni di strumenti matematici classici (tre incontri); 3. I mille volti della luce: ondulatoria, corpuscolare e ... superfluida. Una breve introduzione ai fluidi quantistici di luce (due incontri).

I MODULO
Complessità e Probabilità
Angelo Vulpiani – Università di Roma “La Sapienza”, 17 e 18 gennaio 2019
Franco Flandoli – Scuola Normale Superiore, 25 gennaio 2019

3 lezioni di 2 ore ciascuna
Se osserviamo il mondo che ci circonda notiamo che esistono fenomeni regolari e prevedibili, ad esempio il susseguirsi del giorno e della notte, l'alternanza delle stagioni e le eclissi che sono calcolate dagli astronomi con grande anticipo e precisione. Per descrivere queste situazioni si usano leggi deterministiche, il cui prototipo sono le equazioni differenziali alla base della meccanica di Newton e di gran parte della fisica classica.

Ci sono però anche fenomeni che non sembrano affatto seguire leggi precise come quelle che valgono per le eclissi o per i corpi che cadono. Quando abbiamo a che fare con giochi come i dadi, la roulette, il lotto, l'andamento della borsa, e così via, invece parlare di leggi usiamo termini come caso e aleatorietà, e la descrizione matematica si basa sulla teoria della probabilità.

Ovviamente non è del tutto soddisfacente assumere che esistano due tipi di situazioni completamente diverse: quelle regolate da leggi certe (deterministiche), e quelle che seguono leggi aleatorie. Si potrebbe infatti notare che i dadi e le palline delle roulette obbediscono alle leggi della meccanica di Newton, proprio come i sassi che cadono e i corpi celesti.

È possibile superare questa dicotomia apparentemente inconciliabile?

Vedremo come in presenza di caos, in cui piccole differenze dello stato del sistema al tempo iniziale vengono amplificate in modo esponenziale (il famoso, e spesso citato a sproposito, effetto farfalla), è possibile introdurre in modo coerente (e non soggettivo) concetti probabilistici anche in sistemi deterministici.

È interessante notare che, per quanto riguarda la certezza, questa non è affatto esclusiva delle teorie deterministiche. I teoremi limite (primo fra tutti la legge dei grandi numeri) mostrano che in un sistema con un grande numero di componenti si può avere un determinismo probabilistico.

Questo è stato ben riassunto da B.V. Gnedenko e A.N. Kolmogorov:

«Tutto il valore epistemologico della teoria delle probabilità è basato su questo: i fenomeni aleatori, considerati nella loro azione collettiva a grande scala, generano una regolarità non aleatoria».